习题2.3第一课时教学实录

《余弦定理》教学设计

——高一数学

李昱俐

一、课程标准中的“余弦定理”

1.《普通高中数学课程标准》

对“余弦定理”这一内容的表述是：在已有知识的基础上，通过对任意三角形边长和角度的探索，发现三角形中边长与角度之间的数量关系，并掌握余弦定理；解决一些简单的三角形度量问题。

《标准》

重视已有知识在“余弦定理”学习中的作用，格外强调知识的发生、发展过程，关注学生对“余弦定理”获得过

程的体验和感悟，重视数学知识的应用。

2.教学目标

（1）掌握余弦定理及其推论；能初步应用余弦定理解决一些简单的问题。

（2）经历余弦定理的推导过程，掌握推导方法。

（3）认识数学与实际生活的联系，树立数学应用意识。

二．教学过程

（一）复习巩固

问题1：上节课我们学习了正弦定理,请问正弦定理的内容是什么？

问题2：正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？

预设：可以解决两类解三角形的问题。第一类是已知三角形的两角和任意一边,求其他两边和一角；第二类是已知三角形的两边和其中一边的对角,求三角形的其他边与角。

【设计意图】引导学生对所学知识回顾,反思正弦定理掌握情况,同时也为后续知识的学习做铺垫. （二）设置情景，体验精彩

如图，点A为班主任家，点B为数学老师家，点C为学校。已知班主任到学校的距离3km，数学老师到学校的距离2km，利用测角仪测量∠C=60，计算两位老师家的距离。

问题3：你能说出这个问题属于解三角形中的哪一类问题，能否用正弦定理求解？

预设：这是已知两边和其夹角求第三边的问题，不能利用正弦定理。

问题4：如何利用学过的知识求解？

预设：添加辅助线,过点B作BD丄AC于D, 在RtBCD中，BDBCsin603，CDBCcos601.在RtABD中，ABADBD722

【设计意图】情景引入的建立需要将教学内容和学生认知充分的相结合。利用有趣的问题来激发学生的认知，让学生认识到数学来源于生活,服务于生活,从而激发学生学习数学兴趣。由于本问题难度不大,学生都能够利用初中知识解决,学生都能够尝试到成功的喜悦,充分调动学生的积极性,同时也为余弦定理的证明提供一种证明方向。

（三）抽象概括，建模探究

师：刚才的一个情景问题,我们可以抽象出这样的一个数学问题：

在ABC中，已知BC=a，AC=b,边BC与边AC所夹的角为C,求第三条边AB的边长c,即用已知a, b, C的来表示。

预设：这题和前面的实际问题是同一个问题,只是刚才的例题是特殊情况，而此题是一般情况.我们同样可以将斜三角形化为直角三角形来解决。

过点A作ADBC于D，在RtACD中，CDbcosC,ADbsinC,在RtABD中,ABADBDbsinC(abcosC)ab2abcosC师：作为一般情况下，点

D

一定落在线段BC上吗？还要讨论角C为直角或钝角的情况。

师：这种证明方法我们可以叫做几何法,与正弦定理证明一样,需要分类讨论。

问题5：证明在钝角三角形中存在这个等式。

预设：在钝角中证明余弦定理，让学生自主探索，上台展示。

问题6：请大家想想还有其他方法可以证明？

22222222

提示：“两边及其夹角”，看到“夹角”这个字眼你会联想到什么？回忆一下，我们什么时候用过“夹角”？

【设计意图】用向量法推导余弦定理的关键是抓住“夹角”这一已知条件，并积极联想相关知识。学生若能通过“夹角”想到向量，问题便迎刃而解

（对表达式平方是很自然的事），平方，则出现向量数量积，这才出现夹角。

（四）欣赏定理，加深理解

（1）余弦定理的结构分析与记忆。

在教师的引导下，学生基本能够把余弦定理“翻译”为数学文字语言——

三角形中，任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。上述问题解决之后，再要求学生思考余弦定理的结构特征，记忆公式。

（2）统一边角元素，得出余弦定理推论。

问题7：只知道三边长，能否解三角形？怎么解？

【设计意图】

这样的设计能使学生感觉到“余弦定理”的推论也不是凭空产生的，推论的引入是解题的需要——

变形之后解决有关“已知三边长，解三角形”的问题更直接；也是认识的需要——

借助推论的表达式可以更清楚地看到其中蕴含的边角之间的互化关系。

（五）应用定理，解决情境

问题8：回到问题情境中，应用余弦定理如何求解？

【设计意图】

这样的设计能使学生感觉到应用余弦定理解三角形比做垂线解题方便、简单。对比两种方法，说明引入余弦定理的必要性。应用定理解决情境，加强对定理的应用。

（六）典例剖析，拓展提升

例

1. △ABC

中，已知

b = 3，c = 1，A = 60°，求

a。

例

2 .△ABC

中，已知

a = 7，b =5，c = 3，求

A。

例

3 .△ABC

中，已知

b = 3

，c = 1，B = 60°，求

a。

【设计意图】

通过这几个具体问题的解决，使学生加深对余弦定理及其推论的价值的认识。其中，例1 和例

2是余弦定理及其推论的直接应用，这是及时巩固知识的需要，例

3可用正弦定理解决，也可用余弦定理解决。此题可以使学生了解余弦定理不但可以解决已知“两边及其夹角”、“三角形三边”这两类问题，而且在解决“两边及其一边对

角”这类三角形问题时也有用武之地。至于如何选择，需要具体问题具体分析，一般地，可以从计算是否更加简便的角度加以考虑。

（七）课堂小结，类比提升

问题9：本节课你学到了什么内容？

预设：

一个定理即余弦定理，两组公式即余弦定理公式及其变形，两种解决平面几何的方法，几何法、向量法。

三、板书设计