3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学实录

3.1直线的倾斜角与斜率

3．1.1

倾斜角与斜率

[教学重点] 直线倾斜角与斜率的概念. [教学难点] 直线倾斜角与斜率的关系.

[教学目标] 1.理解直线倾斜角的定义与取值范围;

2.理解直线的斜率及取值范围;

3.掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系;

4.会求直线的倾斜角与斜率;

5.培养学生的数形结合思想与分类讨论思想.

[教学过程]

一、直线的倾斜角

[提出问题]

在平面直角坐标系中，直线l经过点P. 问题1：直线l的位置能够确定吗？

提示：不能．

问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？

提示：无数条．

问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？

提示：倾斜程度不同．

[导入新知]

1. 倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.

当直线与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°.

3．倾斜角与直线形状的关系

倾斜角

直线

α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

1

[化解疑难]

对直线的倾斜角的理解

(1)倾斜角定义中含有三个条件：

①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时

所成的角．

(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．

(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.

二、直线的斜率

[提出问题]

升高量日常生活中，常用坡度(坡度＝)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进前进量322升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞. 22问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？

提示：可以．

问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？

提示：可以．

问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？

提示：与倾斜角的正切值相等．

[导入新知]

1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α. y2－y12．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线x2－x1P1P2没有斜率．

3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．

[化解疑难]

1．倾斜角α与斜率k的关系

(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．

(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．

2

2．斜率公式

y1－y2(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，即k＝x1－x2＝y2－y1. x2－x1(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

[典例解析]

[例1]

(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

) A．30°

B．60°

C．30°或150°

D．60°或120°

(2)下列说法中，正确的是(

) A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α

B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α

C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α

[解析]

(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. (2)对于A，当á＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan á，但只有0°≤á＜180°时，á才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，á＝0°，sin á＝0，故C不正确，故选D. [答案]

(1)D

(2)D [类题通法]

求直线的倾斜角的方法及两点注意

(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．

(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]

1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(

) A．[0°，90°)

B．[90°，180°)

C．(90°，180°)

D．(0°，180°) 解析：选C

直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，180°)．

2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(

) A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°

3

解析：选D

当0°≤á＜135°时，l1的倾斜角是á＋45°.当135°≤á＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为á－135°，故应选D.

[例2]

(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；

(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________. [解析]

(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，

－3－y－3－y又k＝，由＝－1，得y＝－5. 2－42－44－m(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1. m＋2[答案]

(1)－5

(2)1

[类题通法]

利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

[活学活用]

3．若直线过点

(1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

解析：选A

设直线的倾斜角为á，

2＋3－233直线斜率k＝＝，¡àtan á＝.

又¡ß0°≤á＜180°，¡àá＝30°. 334－1y[例3]

已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

x[解]

如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

y2y由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以可求得的最大值为x3x22，最小值为. 3[类题通法]

y2－y1根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，x2－x1

4

再利用图形的直观性来分析解决问题．

[活学活用]

y＋14．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．

x＋1y＋1y－－1解：＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．

x＋1x－－1¡ß点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x¡Ê[2,5]，¡à设该线段为AB且A(2,4)，

511y＋15y＋115B(5，－2)．¡ßkNA＝，kNB＝－，¡à－≤≤. ¡à的取值范围为[－，]．

366x＋13x＋163[随堂即时演练]

1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(

) A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率

B．倾斜角为135°的直线的斜率为1 C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α

D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞) 解析：选D

任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A、C错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B错误；只有D正确．

2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是(

) A．5

B．8

C.13

D．7 28－m13解析：选C

由斜率公式可得＝1，解之得m＝. 2m－53．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．

1－0解析：kl＝＝－1，因此倾斜角为135°. －1－0答案：135°

4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．

解析：¡ßA、B、C三点共线，

¡àkAB＝kBC，即2答案：2或

9[课堂小结] 1.直线的倾斜角的定义与范围; 2.直线的斜率的定义与范围; 3.直线的斜率与倾斜角之间的关系; 9a＋752＝，¡àa＝2或. 593－a

5

4.直线的斜率公式与运用. [作业布置] 89页：习题3.1

A组

1,3,4.

6