习题2.1板书设计

教案设计：两条异面直线所成的角

金山中学

陈祺

【教学目的】

1.使学生理解并掌握异面直线所成角的定义，熟记异面直线所成角的范围。

2.熟练掌握用平移法求异面直线所成角。

【教学重点和难点】

教学重点是异面直线所成角的定义、范围、计算。难点是异面直线所成角的求法。

【教学过程】

一、新课引入

教师讲解：

在平面几何中我们知道，对于两条相交直线，可以用它们交角大小来确定其相互的位置关系；对于两条平行线，可以用它们之间的距离来确定它们之间位置关系。对于不在同一个平面内的两条异面直线，它们既不相交又不平行，那么如何来确定它们之间的位置关系呢？这是今天要学习的内容。

二、新课

让学生观察一个模型：在黑板上，画一条直线a，并插上三根竹针b、c、d。然后思考：直线a与三根竹针是怎样的位置关系？而每根竹针与a的位置关系是一样吗？

让一个学生回答，其他学生可补充。

使学生明确。a与b、c、d都是异面直线，但a与b、c、d的位置关系都不一样，其差别主要是倾斜程度不一样，如a、b间和a、c间倾斜程度是不一样的。

如何寻找出一个合适的几何量来刻划两条异面直线之间的倾斜程度呢？让学生阅读课本“两条异面直线所成的角”一节课文。

阅读要求：

1.正确理解异面直线所成的角的定义。

2.理解异面直线所成的角的求法。

阅读时可思考下列各题：

1.如何过直线a外一点O作直线a的平行线。

2.如果直线a与两平行直线b、c都不相交，而a与b所成的角等于θ，求a与c所成角的大小，并说出理由。

3.如何构造出两条异面直线所成的角。

4.如何求出两条异面直线所成的角的角度。

阅读思考后请二位学生回答思考题中的思路。其他学生在小组中议论思考题并由总结求异面直线所成角的方法。

教师可根据学生议论和板演情况作补充讲解：

1.在理解异面直线所成角的定义时，要注意三点：

（1）过直线a外一点O，可这样来作a的平行线：先作出由O和a决定的平面α，然后在平面α内用平面几何中学过的方法就可过O作出a的平行线。这个作法为定义异面直线所成角作好了准备。

（2）

异面直线a、b所成角的定义是：过空间任一点O，分别引直线a＇∥a，b＇∥b，则a＇和b＇所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。对这个定

义不但要理解它的具体内容，还要懂得这种定义的合理性。由平行线等角定理知道，不论O点在哪里，a＇和b＇所成锐角（或直角）总相等的。a＇和b＇所成锐

角（或直角）的大小，完全取决于两条异面直线a和b的相互位置，所以用a＇和b＇所成角的大小作为异面直线a、b所成角是合理的。又a＇和b＇所成的角有

四个（两组对顶角），其中有二个锐角（或直角），另二个是钝角（或直角），到底取哪一个角作为两条异面直线a、b所成的角呢？我们规定把a＇、b＇交成的

锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。

（3）因为两条异面直线不相交，所以两条异面直线没有交角，刻划它们倾斜程度的是“两条异面直线所成的角”，而不能叫“两条异面直线的交角”。

2. 从上面计算中可归纳出来两条异面直线所成角的一般方法：

第一步是根据异面直线所成角的定义，作出两条异面直线所成角：在两条异面直线的一条上选取具有某些特殊性质的点，再过这点作出另一条异面直线的平行线，所成锐角便是所求的角。第二步是使作出的两条异面直线所成角成为一个三角形的一个内角。第三步解这个三角形。

如果两条异面直线所成角是90°，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。由此可知，在立体几何中两条直线互相垂直不一定是相交的。

三、练习

四、小结

这节课主要介绍了刻划两条异面直线倾斜程度的几何量：异面直线所成的角。对于这个几何量要正确理解它们的意义和掌握它们的求法，这样就能确定两

条异面直线间的位置关系，而确定两条异面直线间的位置关系，不论在立体图形研究和计算中还是在实际问题的研究中都有广泛的应用。

五、作业