习题3.2优质课一等奖教案

第三章

直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1．1 倾斜角与斜率

【知识点归纳】

1.直线的倾斜角：

2.直线的斜率：

3.直线的斜率公式：

【典型例题】

题型

一

求直线的倾斜角

例

1 已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（

）.

A. 60°

B. 30°

C. 60°或120°

D. 30°或150°

变式训练：

设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则l1的倾斜角为（

）。

A. 45

B. 135

C. 135

D. 当0°≤α＜135°时为45，当135°≤α＜180°时，为135

题型

二

求直线的斜率

例

2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.

变式训练：

已知过两点A(m22,m23), B(3m2m,2m)的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.

题型

三

直线的倾斜角与斜率的关系

例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（

）.

A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2

C. k3＜k2＜k1

D. k1＜k3＜k2

拓展

一

三点共线问题

例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

第

1 页

共

16 页

变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，a），R(4，b)共线，那么下列成立的是（

）.

A．a4,b5

B．ba1

C．2ab3

D．a2b3

拓展

二

与参数有关问题

例

5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.

变式训练：

已知A(2,3),B(3,2)两点，直线l过定点P(1,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围.

拓展

三

利用斜率求最值

例

6 已知实数x、y满足2xy8,当2≤x≤3时，求

变式训练：

利用斜率公式证明不等式：

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【知识点归纳】

第

2 页

共

16 页

y的最大值与最小值。

xama(0ab且m0)

bmb

1.直线平行的判定

2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）：

【典型例题】

题型

一

两条直线平行关系

例

1 已知直线l1经过点M（-3，0）、N（-15，-6），l2经过点R（-2，判断l1与l2是否平行？

变式训练：经过点P(2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是（

）.

A．4

B．1

C．1或3

D．1或4

题型

二

两条直线垂直关系

例

2 已知ABC的顶点B(2,1),C(6,3)，其垂心为H(3,2)，求顶点A的坐标．

变式训练：（1）l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问l1与l2是否垂直？

（2）直线l1,l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是

. 题型

三

根据直线的位置关系求参数

例

3 已知直线l1经过点A(3,a)、B（a-2,-3）,直线l2经过点C（2，3）、D（-1，a-2）, （1）如果l1//l2，则求a的值；（2）如果l1⊥l2，则求a的值

题型

四

直线平行和垂直的判定综合运用

35）、S（0，），试22第

3 页

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例4 四边形ABCD的顶点为A(2,222)、B(2,2)、C(0,222)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状.

变式训练：已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．

探点

一

数形结合思想

例 5 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点. （1）证明：点C、D和原点O在同一直线上. （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

探点

二

分类讨论思想

例6 ABC的顶点A(5,1),B(1,1),C(2,m)，若ABC为直角三角形，求m的值.

3.2 直线的方程

第

4 页

共

16 页

3.2.1

直线的点斜式方程

【知识点归纳】

1.直线的点斜式方程：

2.直线的斜截式方程：

【典型例题】

题型

一

求直线的方程

例1 写出下列点斜式直线方程：

（1）经过点A(2,5)，斜率是4；（2）经过点B(3,1)，倾斜角是30.

例

2

倾斜角是135，在y轴上的截距是3的直线方程是

.

变式训练：

1.

已知直线l过点P(3,4)，它的倾斜角是直线yx1的两倍，则直线l的方程为

2.

已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.

3.将直线yx31绕它上面一点（1，3）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程第

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共

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是

.

题型

二

利用直线的方程求平行与垂直有关问题

例

3 已知直线l1的方程为y2x3,l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程。

探究

一

直线恒过定点或者象限问题

例

4. 已知直线ykx3k1. （1）求直线恒经过的定点；

（2）当3x3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.

探究

二

直线平移

例

5 已知直线l：y=2x-3 ，将直线l向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到的直线方程为__________________

3.2.2 直线的两点式方程

【知识点归纳】

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6 页

共

16 页

1.直线的两点式方程：

2.直线的截距式方程：

【典型例题】

题型

一

求直线方程

例

1 已知△ABC顶点为A(2,8),B(4,0),C(6,0)，求过点B且将△ABC面积平分的直线方程.

变式训练：

1.已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（

）.

A．4x2y5

B．4x2y5

C．x2y5

D．x2y5

2.已知2x13y14,2x23y24，则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是（

）.

A. 2x3y4

B. 2x3y0

C. 3x2y4

D. 3x2y0

例

2求过点P(3,2)，并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式训练：已知直线l过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l的方程为

题型

二

直线方程的应用

例

3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图所示. （1）求y与x之间的函数关系式，并说明自变量x的取值范围；

（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？

y元

10

6

x（千克）o6080

探究

一

直线与坐标轴围成的周长及面积

例

4 已知直线l过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为4的三角形，求直线l的方程．

第

7 页

共

16 页

探究

二

有关光的反射

例

5 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点

B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

变式训练：已知点A(3,8)、B(2,2)，点P是x轴上的点，求当APPB最小时的点P的坐标．

3.2.3 直线的一般式方程

【知识点归纳】

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8 页

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1．直线的一般式：

2．直线平行与垂直的条件：

【典型例题】

题型

一

灵活选用不同形式求直线方程

例1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

1（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；

（2）经过点B(4，2)，平行于x轴；

23（3）在x轴和y轴上的截距分别是,－3；

（4）经过两点P1（3，－2）、P2（5，－4）. 2

题型

二

直线不同形式之间的转化

例

2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点A(5,6),B(4,8).

题型

三

直线一般式方程的性质

例

3直线方程AxByC0的系数A、B、C分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质? （1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在直线；（5）是y轴所在直线.

变式训练：已知直线l:5ax5ya30。

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9 页

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（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围。

题型

四

运用直线平行垂直求参数

例

4 已知直线l1：xmy2m20，l2：mxy1m0，问m为何值时：

（1）l1l2；

（2）l1//l2.

变式训练：（1）求经过点A(3,2)且与直线4xy20平行的直线方程；

（2）求经过点B(3,0)且与直线2xy50垂直的直线方程.

题型

五

综合运用

例

5 已知直线l1:xmy60，l2:(m2)x3y2m0，求m的值，使得：

（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.

3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两直线的交点坐标

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10 页

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3.3.2 两点间的距离

【知识点归纳】

1.两条直线的焦点坐标：

2.两点间的距离公式：

【典型例题】

题型

一

求直线的交点坐标

例

1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标. （1）直线l1: 2x－3y+10=0 , l2: 3x+4y－2=0；

（2）直线l1: nxyn1, l2: nyx2n.

题型

二

三条直线交同一点

例

2 若三条直线2x3y80,xy10，kxy20相交于一点，则k的值等于

变式训练：1.设三条直线：x2y1,2xky3,3kx4y5交于一点，求k的值

2.试求直线l1:xy20关于直线l2:3xy30对称的直线l的方程.

题型

三

求过交点的直线问题

例

3 求经过两条直线2xy80和x2y10的交点，且平行于直线4x3y70的第

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共

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直线方程.

变式训练：已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.

题型

四

两点间距离公式应用

例

4 已知点A(2,1),B(a,3)且|AB|5，则a的值为

变式训练：

在直线2xy0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为５，并求直线PM的方程.

题型

五

三角形的判定

例

5已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0)，判断ABC的类型．

探究

一

直线恒过定点问题

例

6 已知直线(a2)y(3a1)x1. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限. 第

12 页

共

16 页

变式训练：若直线l：y＝kx3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的倾斜角的取值范围.

探究

二

利用对称性求最值问题（和最小，差最大）

例

7 直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.

变式训练：已知M(1,0)、N(1,0)，点P为直线2xy10上的动点．求PM2PN2的最小值，及取最小值时点P的坐标．

3.3.3 点到直线的距离

3.3.4 两条平行直线间的距离

第

13 页

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16 页

【知识点归纳】

1.点到直线的距离：

2.两条平行间直线的距离：

拓展：点关于点、直线对称点的求法

【典型例题】

题型

一

利用点到直线距离求参数

例

1 已知点(a,2)(a0)到直线l:xy30的距离为1，则a=（

）.

A．2

B．－2

C．21

D．21

题型

二

利用点到直线距离求直线的方程

110例

2 求过直线l1:yx和l2:3xy0的交点并且与原点相距为1的直线l的方程. 33

变式训练：

直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是

题型

三

利用平行直线间的距离求参数

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例

3若两平行直线3x2y10和6xayc0之间的距离为c2213，求的值. a13

变式训练：两平行直线5x12y30与10x24y50间的距离是（

）.

A. 1521

B.

C.

D.

26261313

题型

四

利用平行直线间的距离求直线的方程

例

4 与直线l:5x12y60平行且与l的距离2的直线方程是

题型

五

点、直线间的距离的综合运用

例

5

已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．

探究

一

与直线有关的对称问题

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例

6

△ABC中，A(3,3),B(2,2),C(7,1). 求∠A的平分线AD所在直线的方程.

变式训练：1.与直线2x3y60关于点（1，-1）对称的直线方程是

2．求点A（2，2）关于直线2x4y90的对称点坐标

探究

二

与距离有关的最值问题

例

7 在函数y4x2的图象上求一点P，使P到直线y4x5的距离最短，并求这个最短的距离.

变式训练：在直线l:3xy10上求一点P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。

（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。

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