3.1.2 导数的概念名师课堂实录

高三一轮（文） 2.10导数的概念及其运算

【教学目标】

1．了解导数概念的实际背景．

2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．

3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数．

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

【重点难点】

教学重点：能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数; 求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；

2.教学难点：理解导数的几何意义；

【教学策略与方法】

自主学习、小组讨论法、师生互动法

【教学过程】

教学教师活动

流程

考纲再现:

考试内容

导数的概念

导数的几何意义

要求层次

了解

理解

掌握

√

√

√

√

学生活动

学生自主解决问题，通过交流获得正确答案。

教师引导，帮助学生对所学的知识进行整理。

设计意图

学生通过基本问题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过知识框图达到知识的系统化。

根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，√

y=x1/2的导数

导数的四则运算

导数公式表

导数是高考的热点，一般不单独出题,往往和导数的几何意义结合，既有选择题,填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在．导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方法，试题的命制往往与导数的应用结合，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题. 真题再现：（见课件）

环节题型一

导数的概念

1二：

例1、用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导x

数．

引导学生通过对常见问题的解决，并进行知识和方法的总结，帮助

由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式

学生形成解题模块。

x

1

则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1= 1＋Δx

. 1－1＋Δx(1－1＋Δx)(1＋1＋Δx)

＝

1＋Δx1＋Δx(1＋1＋Δx)

－ΔxΔy

＝，＝－Δx1＋Δx(1＋1＋Δx)

1

，

1＋Δx(1＋1＋Δx)

Δy－1

∴lim

＝lim

Δx→0ΔxΔx→01＋Δx(1＋1＋Δx)

1＝－. 2

1∴y′|x＝1＝－. 2

跟踪训练1

已知f(x)在x＝x0处的导数为4，

f(x0＋2Δx)－f(x0)

则lim

＝________. ΔxΔx→0

f(x0＋2Δx)－f(x0)

解析

lim

ΔxΔx→0

f(x0＋2Δx)－f(x0)×2

＝lim

2Δx

Δx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)

＝2lim

2ΔxΔx→0

＝2f′(x0)＝2×4＝8. 在解题中注意引导学思维升华

根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x生自主分析和解决问＝x0处导数的步骤 题，教师及时点拨从而(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)＝f(x0)；

提高学生的解题能力和兴趣。

Δyf(x0＋Δx)－f(x0)(2)求平均变化率＝；

ΔxΔx解析

设f(x)＝，

Δy(3)计算导数f′(x0)＝lim

. Δx→0Δx题型二

导数几何意义

导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．

归纳起来常见的命题角度有：

(1)求切线方程；

(2)求切点坐标；

(3)求参数的值

例2 角度一

求切线方程

已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))1识别能力和解题效率。

引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。

处的切线过点(2,7)，则a＝________. 解析] ∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切线的方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)·(x－1)，又切线过点(2,7)，所以7－(a＋2)＝3a＋1.即a＝1. 角度二

求切点坐标

12．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(xx＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

答案] (1,1) 角度三

求参数的值

173．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，22直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(

) A．－1

B. －3 B．－3

C．－4 D. －2 1解析] ∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′x(1)＝1，

又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为1(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x20＋27mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2，故选D. 2跟踪训练2 1．(2016·大同模拟)曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(

) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1 解析] 依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1，故选A. 2．(2016·广州模拟)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为(

) 27A. B.－2 827C．2 D.－

8解析] 设切点坐标为(t，t3－at＋a)．

B．－2

由题意知，f′(x)＝3x2－a，

切线的斜率为k＝f′(t)＝3t2－a，①

所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)·(x－t)．②

将点(1,0)代入②式得

－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解之得t＝03或t＝. 2327分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝24－a，

27由题意得它们互为相反数得a＝.故选A. 83. (2016·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线15与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等4于(

) 252121A．－1或－ B．－1或

B．－1或

644472577C．－或－ D．－或7 D．－或7 46444解析] 设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，又(1,0)在切线上，则x0＝0或3x0＝，

215当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可42532727得a＝－，当x0＝时，由y＝x－与y＝ax26424415＋x－9相切可得a＝－1，所以选A. 414. (2016·咸阳模拟)直线y＝x＋b与曲线y＝21－x＋ln x相切，则b的值为(

) 2A．2 B．－1 B．－1 1C．－ D．1 D．1 211解析] 设切点坐标为(x0，y0)，y′＝－＋，2x11111则y′＝－＋，由－＋＝得x0＝1，切点2x02x02111坐标为1，－，又切点1，－在切线y＝x＋222

11b上，故－＝＋b，得b＝－1，故选B. 22思维升华

1.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用kf(x1)－f(x0)＝求解．

x1－x02. 求解与切线有关的问题时，要注意分析切点的性质，切点有3个性质：①切点在曲线上；②切点在切线上；③在切点处的导数等于切线的斜率．由此可以建立方程 (组)求解参数的取值问题．

环节方法与技巧] 三：

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．

2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

环节

四：

课后作业：学生版练与测

学生回顾，总结.

引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。