1.1.3 四种命题间的相互关系教学实录与评析

1.1.2四种命题

1.1.3四种命题间的相互关系

●重点难点

重点：四种命题之间相互的关系．

难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．

通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．

●教学流程

创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒⇒⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.通过例1及其互动探究，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.通过例2及其变式训练，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒探究四种命题的真假关系，完成例3及其变式训练，从而解决等价命题相互转化在判断命题真假时的应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

课1.理解“若p

，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题的概念．(重点) 标2.能熟练地写出一个“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点) 解3.掌握四种命题的相互关系并能判断命题的真假．(难点) 读

⇒

知识点一

【问题导思】

观察下面四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

四种命题

命题(1)与其他三个命题条件与结论之间有什么关系？

【提示】

命题(1)(2)的条件与结论互换；

命题(1)(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的否定．

命题(1)(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定．

1．逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．

2．否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若綈p，则綈q”．

3．逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若綈q，则綈p”. 知识点二

【问题导思】

四种命题的相互关系

1．根据以上定义，如果把命题(2)称为原命题，那么其他三个命题分别是命题(2)的什么命题？

【提示】

命题(1)是原命题的逆命题；命题(3)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题

的否命题．

2．如果把命题(3)称为原命题呢？

【提示】

命题(1)是原命题的否命题；命题(2)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的逆命题．

知识点三

【问题导思】

四种命题的真假性关系

1．你能判断知识1中四个命题的真假吗？

【提示】

(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．

2．互为逆否命题的真假性有无联系？

【提示】

有(可以再举一些实例验证)．

1．两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 课堂互动

知识点四

四种命题的概念

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x＞0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 【思路探究】

原命题――→“若p则q”―→分清p、q――→写出

把本例中的命题改为以下命题后，请写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等．

表示由定义逆命题、否命

题、逆否命题

(2)负数的平方是正数．

【解】

(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．

否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

(2)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数. 知识点五

下列命题中正确的是(

) 四种命题真假的判断

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③

C．②③

D．①

B．①③

【思路探究】

(1)你能直接改写命题并判断真假吗？

(2)四种命题的真假关系有何特点？能否利用这一关系判断？

【答案】

B

1．一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

2.四种命题的真假性之间的关系：①两个命题是互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题是互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；③四种命题为真命题的个数只能为0,2,4个．

(2013·汕头高二检测)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 【解析】

原命题与逆否命题为真命题；逆命题与否命题为假．

【答案】

B 知识点六

等价命题的应用

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆否命题的真假．

【思路探究】

(1)你能写出此命题的逆否命题并判断其真假吗？(2)直接判断此命题的真假可以吗？

由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当直接证明一个命题是真命题不容易证明时，则按“正难则反”的思想去思考，分析题目，证原命题的逆否命题成立．

判断命题“若x2＋x－2m＝0无实根，则m≤0”的真假，并证明你的结论．

【解】

真命题．证明如下：

该命题的逆否命题为“若m＞0，则x2＋x－2m＝0有实根”．

∵m＞0，∴Δ＝1＋8m＞0. ∴方程x2＋x－2m＝0有实根．

∴“若m＞0，则x2＋x－2m＝0有实根”为真命题．

又∵原命题和它的逆否命题同真同假．

∴“若x＋x－2m＝0无实根，则m≤0”为真命题.

πππ若a，b，c都是实数，a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中236至少有一个大于0. 【自主解答】

用反证法：

假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0. 2

πππ而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. 236∵π－3＞0，且无论x，y，z为何实数，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，

∴a＋b＋c＞0. 这与a＋b＋c≤0矛盾，

∴a，b，c中至少有一个大于0.

用反证法证明：

若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．

【证明】

法一

假设a、b、c都是奇数，设a＝2m－1，b＝2n－1，c＝2p－1(m，n，p∈Z)，则a2＋b2＝(2m－1)2＋(2n－1)2＝2(2m2＋2n2－2m－2n＋1)为偶数，而c2＝(2p－1)2＝4(p2－p)＋1为奇数，

∴a2＋b2≠c2，这与已知a2＋b2＝c2矛盾，

∴a、b、c不可能都是奇数．

法二

假设a、b、c都是奇数，则a2、b2、c2也是奇数．

∴a2＋b2为偶数，则a2＋b2≠c2. 这与已知a2＋b2＝c2矛盾，故a、b、c不可能都是奇数.