小结教学设计与反思

圆锥曲线离心率的求法

莱西市第二中学

授课人

吴洪祥

2019.3. 13

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课题

课型

教学目标

专题复习：圆锥曲线离心率的求法

高三专题复习课（文科）

①让学生掌握求椭圆、双曲线的离心率及其取值范围的常用方法； ②让学生掌握几种常见的数学思想在解析几何中的应用。

教学圆锥曲线离心率的求法。

重点

教学根据已知条件构造“a,c”的齐次关系式。

难点

教学方法

教具

教学过程

①“学案导学，学生自主学习，合作探究，教师点拨”的学习方式；

②分层教学。

多媒体、三角板

教学内容

学生活动

设计意图

课

前

复

习

x2y21的一个焦点为（2,0）1.

（2018年全国卷1）已知椭圆C:2，则椭a4圆C的离心率为（

C ）

11222A.

B.

C.

D.

32232..已知双曲线

xy1a0的离心率为2，则a＝( D ) 2a365

C.

D．1 2222

学生利用

自习时间

自主学习

完成,上课简单点评

通过做题再次回顾复习有关概念、公式等基础知识

A．2

B.

3.(2016全国卷1)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的

A.

B.1，则该椭圆的离心率为（

B ）

4

13123

C.

D.

234学生展示

巩固强讲解自主

化基础

学习成果

知识和技能

预习

点评：学生做题情况

成果

导课：本节课的复习内容是：归纳总结求椭圆和双曲线离心率的方法

展示

复习：椭圆和双曲线的定义、标准方程、离心率公式.

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一

已知

a

c

求

e

例1.已知椭圆的方程为：xy1，当4k4且k1时，求离k8922心率的范围. 解：由4k4且k≠1得4k812且k≠9，

1）若9

学生讨论回答

培养学生的分类讨论思想

ca2b2b291e11(0,)

22aaak82

2）若4

ca2b2b2k85e11(0,)

a93a2a2

得分诀窍：焦点的位置是关键：椭圆标准方程看分母的大小，

双曲线标准方程看分母的正负项。

变式跟踪1：(2018年全国卷2)双曲线xy1（a0,b0）的离a2b222心率为3，则其渐近线方程为（ A ）

A.y2x B.y3x C.y23x D.yx

22

独立思考，完成解答

展示学生成果

强化利用标准方程中的a,b,c解题的思想

二

定义法

求

e

x2y2例2.

直线y3x与椭圆C:221(ab0)交于A，B两点，ab

独立思考，解：设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由椭圆的几何性质可得，圆心为原小组研讨，探究发现2π点，半径为c，|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c，由y＝－3x，得∠AOF2＝，3解题思路和方法

π∠AOF1＝.∴|AF2|＝3c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，

3学生板书

以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，求椭圆C的离心率．

∴c＋3c＝2a，∴e＝＝3－1.

熟悉定义在解题中的应用；数形结合的思想。

ca

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得分诀窍：①先画出图形；②在图形上标出2c，其它边用c表示；③利用定义求解.

变式跟踪2:

已知F1,F2是椭圆的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，学生积极思考，完成且PF，则C的离心率为（D）

F6012解题过程并总结解331

A.1 B.23 C. D.31

题步骤

22

学生板书

通过分析使学生对定义解题有更深刻的认识，重视定义的理解和应用

x2y2

例3.设F1，F2是椭圆E:221(ab0)ab三的等腰三角形，求E的离心率．

构是底角为30°造

[教你审题] 第1步

画图，得出结论 PF2F1F2；

a

第2步

抓住“△F2PF1是底角为30°的等腰三角形”可得|PF2|；

c

第3步

列出等式求解．

的22[解法] 令c＝a－b.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，齐次3ac)＝3a－2c. ∴∠F1F2P＝120°，∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝2(式2求

∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，

e

c33∴3a＝4c，∴＝，即椭圆的离心率为. a44得分诀窍：根据已知，找到参数a,b,c的关系式，求离心率的值．

3a的左、右焦点，P为直线: x＝上一点，△F2PF12

教师引导

启发学生，

进行条件进一步分析

熟悉定

义解

题，强

化数形

结合的分析

思想。

独立完成

指导学生寻找条件之间的关系，并准确原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB10,BF8，求出相关45函数值

cosABF，求C的离心率.

75y 2222

解：∵c=|FO|=|BF|+|BO|-2|BF||BO|cos∠ABF=25, B

∴c=5. F 222x 学生板书

∵|AF|=|BF|+|BA|-2|BF||BA|cos∠ABF=36, O ∴|AF|=6. A x2y2变式跟踪3:

已知椭圆C：221(ab0)的左焦点为F，C与过ab

强化学生对椭圆定义的应用意识

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又2a=|AF|+|BF|=14,∴a=7. ∴e=c5=. a7名师叮嘱

求椭圆和双曲线的离心率，就是求c与a的比值，一般不需要具体求出a，c的值，只需列出关于a，b，c的方程或不等式解决即可．

学生归纳总结

学生根据教师的讲解，进行独立解答

学生解答

通过3个习题的探究分析、讲解，使学生能够掌握此类问题的解法

当堂

检测

x21.(2017年全国卷2)若a>1，则双曲线2y21的离心率的取值范围是（C）

aA.2,B.2,2C.1,2D.1,2x2y22. [2014·天津卷] 设椭圆

221(ab0)的左、右焦点分别为ab3F1F2.则椭圆的离心率F1,F2，右顶点为A，上顶点为B.已知AB22为 .() 2x2y23.椭圆：221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.ab若直线y3(xc)与椭圆Γ的一个交点M满足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于______．( 3－1). x2y2bx与双曲线221(a0,b0)左支4.（选做题）设P为直线y3aab32的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e

. 4

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1.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为

F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,PF1F2是以PF1为底边

的等腰三角形,若PF110,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则

课e1e2+1的取值是 。

后4 (,) 作

3业

2

1.2x2y2必

2.已知点F是双曲线221(a0,b0)的左焦点，点E是该做

ab

双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B3 两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围选为________．

做

解：由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB π为锐角．根据对称性，只要∠AEF <

即可．直线AB的方程为4422bbbx＝－c，代入双曲线方程得y2＝2，取点A(c,)，则|AF|＝，aaa

πb|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即1，故1

aba2若在直线x上存在点P，使线段

PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离c心率的取值范围是________．

b2ya2,y)，则F1P的中点Q的坐标为(,). 解：设点P的坐标为(2c2c当y≠0时，则kF1P得y＝故2cycyk，，由kF1PkQF21，

QF22222b2cb2c222222221，y>0，即2c－b>0，即3c－a>0，即e>，3b2＋2c2c22c－b3

3a233当y＝0时，此时F2为PF1的中点，由－c＝2c，得e＝.综上，得≤c33e<1.

得分诀窍：通过条件的化简，利用y0求离心率的范围.

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