小结教学设计模板

《直线与方程》小结

一、【教材分析】 1．教学内容 人教A版教材《必修二》第三章《直线与方程》的主要内容有直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识本节课内容是章末小结，内容为回顾本章学习的主要内容及重要数学思想方法。 2．地位与作用 章末小结既要对本章主要内容的回顾使学生形成系统的知识结构又要通过重温坐标法研究几何图形的基本思想为后续学习在知识和思想方法上做好铺垫。 二、【学情分析】 1．知识基础：学生已经学习了直线的倾斜角、斜率、直线的方程、直线平行与垂直、两条直线的交点及距离公式等知识。 2．认知水平和能力：高中学生具有较强的观察、分析、概括能力，有着较好的学习经验及活动经验，能有自发的参与意识和合作意识。 3．任教学生特点：文科班学生基础知识较弱，独立思考能力和反思总结能力较弱，有待进一步提高。 三、【目标分析】 1.教学目标 依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，制定教学目标。

2.教学重点及难点 重点：复习直线的倾斜角斜率、直线的方程、直线平行与垂直、两条直线的交点及距离公式形成知识体系

。

难点：数形结合思想的渗透

四、【教学模式与教法、学法】 本课采用“自主——合作——探究”数学教学模式。教师的教法突出活动的安排与问题的引导。学生的学法突出反思性学习、探究发现与归纳建构。

教具：教材，多媒体课件 学具：教材，练习本 五、【过程设计】 一、

回顾与梳理 直线与直线方程直线的倾斜角和斜率直线与直线方程直线的方程两直线的位置关系

1、直线的倾斜角倾斜角的取值范围是2、直线的斜率ktan,(90)0180.意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的倾斜程度。直线的斜率计算公式：即 kyx22yx11直线方程的形式：形式点斜式斜截式两点式截距式一般式条件过点( x0,y0),斜率为k在y轴上的截距为b,斜率为k过P1（x1, y1),P2（x2, y2)在y轴上的截距为b,在x轴上的截距为a方程应用范围yy0k(xx0)k存在k存在k存在且k0k存在且0且不过原点ykxbyy1xx1y2y1x2x1xy1.abAxByC0任何直线两直线平行的判定:方法：1)若l1:yk1xb1,l2:yk2xb2l1//l2k1k2,b1b22)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20l1//l2A1B2A2B1,A1C2A2C1

两直线相交的判定:方法：1)若l1:yk1xb1,l2:yk2xb2l1,l2相交k1k22)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20l1,l2相交A1B2A2B1两直线垂直的判定:方法：1)若l1:yk1xb1,l2:yk2xb2l1l2k1k212)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20l1l2A1A2B1B204.点到直线的距离，平行线的距离（1）点P(x0,y0)到直线AxByC0距离：dAx0By0CA2B2（2）直线AxByC10到直线AxByC20的距离：dC2C1A2B2对称问题1)中心对称(点关于点的对称点,直线关于点的对称直线)解决方法中点坐标公式3)轴对称(点关于直线的对称点,直线关于直线的对称直线)解决方法(1)垂直(2)中点在对称轴上

二、典例剖析 题型一求直线的方程例1、求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.思维启迪选择适当的直线方程形式，把所需要设直线l在x,y轴上的截距均为a,的条件求出即可.解（1）方法一若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），2∴l的方程为y= x，即2x-3y=0.3xy若a≠0，则设l的方程为aa1,321,∵l过点（3，2），∴aa∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),2令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,k22由已知3-=2-3k，解得k=-1或k= ,k3∴直线l的方程为2y-2=-（x-3）或y-2= (x-3),3即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2 . 2tan3.∵tan =3,∴tan 2 =41tan2又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=-即3x+4y+15=0.3(x+1),4

题型二直线的斜率【例2】已知直线l过点P（-1，2），且与以A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.思维启迪分别求出PA、PB的斜率，直线l处于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求.解方法一如图所示，直线PA的2(3)5,1(2)直线PB的斜率斜率kPAkPB021.3(1)2当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是［5，+∞）；当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜1率的变化范围是,21∴直线l的斜率的取值范围是,∪［5，+∞）.2方法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，∴（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）≤0，1即（k-5）（4k+2）≥0，∴k≥5或k≤-2.1即直线l的斜率k的取值范围是,2∪［5，+∞）.探究提高方法一运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，的单调性求k的范围，数需根据正切函数y=tan 形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决.

题型三两直线的位置关系例3：已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.(1)求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.解：把直线方程整理为2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0.2x＋y＋9＝0x＝－3解方程组，得. x－2y－3＝0y＝－3

即点(－3，－3)适合方程2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0，也就是适合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.所以，不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0 必过定点(－3，－3)．(2)设经过点(－3，－3)的直线与两坐标轴分别交于A(a,0)，B(0，b)．a＋02＝－3由中点坐标公式得0＋b＝－32解得a＝－6，b＝－6.

，

xy故过点(－3，－3)的直线方程为＋＝1，

－6－6即x＋y＋6＝0.

三、

练习巩固 练1、过P(1,2)的直线l与线段AB相交，若A(2,3),B(3,0)，求l的斜率k的取值范围。2、证明：A(1,5),B(3,3),C(7,11)三点共线。3、设直线l的斜率为k，且3k1，求直线的倾斜角a的取值范围。34、已知直线l的倾斜角的正弦值为，且它与两坐标轴围成5的三角形面积为6，求直线l的方程。1答案：1、k,5,；2、方法：①kABkAC22,②ABBCAC③AB//AC；3、0,；434、xyxyxyxy1、1。1、1、43434343

练5、a为何值时，直线ax(1a)y30与(a1)x(2a3)y20平行？垂直？练6、求过点A(1,2)且与原点的距离为2的直线方程。2a1或a3时垂直；答案：1、判断A1B2A2B1是否为0，2、xy10或7xy50； 7、将直线l1：xy320绕着它上面的一点(2,3)沿逆时针方向旋转15得直线l2,求l2的方程。解：k11k2tan(4515) l2:y33(x2)3 3xy30为所求l2的方程。

8、直线过点(2,1),且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程。解：若直线截距为0，则设所求直线为ykx，再由过点(2,1)得k1;2xy1，aa若直线截距不为0，则设所求直线为再由过点(2,1)得a3.所求直线方程为x2y0或xy30。

9、（1）求A（-2，3）关于直线对称点B的坐标；（2）光线自A（-3，3）射出，经x轴反射以后经过点B（2，5），求入射光线和反射光线的直线方程；（3）已知M（-3，5），N（2，15），在直线上找一点P，使|PM|+|PN|最小，并求出最小值10、若直线ax＋by＋c＝0 在第一、二、D三象限，则( )A．ab＞0，bc＞0C．ab＜0，bc＞0B．ab＞0，bc＜0D．ab＜0，bc＜0a解析：由题意，直线的斜率一定大于0，所以k＝－b＞0，c即ab＜0；根据直线的纵截距大于0，可得－b＞0，即bc＜0.