多边形的外角和课堂实录【3】

6.4.2 多边形的外角和教学设计

课程名称

6.4.2多边形的外角和

教师

徐俊媛

指导教师

田红

学校

贵阳市花溪第四中学

授课年级

八年级

章节名称

北师大版八年级下册第六章第四节第二课时多边形的外角和

1学时

数学课程标准

探索并掌握多边形的外角和公式。课程标准把“探索”作为过程性目标之一，指出要让学生主动参与指定的特定的活动（如观察、归纳、类比、联想、推理），从中体验数学活动充满着探索和创造。

教材依据

北师大版初中数学八年级下册第六章第四节第二课时内容

教学目标设计

知识与技能目标：1、了解多边形的外角定义，并能找出多边形的外角。

2、在经历探索多边形外角和公式的过程中，掌握多边形的外角和定理，利用此定理解决相关的问题。

方法与过程目标：在探索五边形的外角和过程中发现结论，并类比应用到六边形、八边形，从获得的结果总结归纳得出多边形的外角和定理，此过程由老师引导让学生主动探索、体会。通过对多边形的外角和分析，用两种方法来理解体会它的外角和总是0，层层推进，由浅入深地梯次展开，开阔视野，拓展思维。

情感与价值观目标：培养学生从实践探索数学结论的方法，培养学生的空间思维观念，感受转化、类比数学思想在解决数学问题中的应用，让学生通过积极探索、体会多边形外角和定理推导过程及应用它解决问题过程使学生感受学习数学的快乐，体会数学之美，数学的内在和谐美，让学生更加喜欢数学。

学情分析

八年级下的学生自我及自我发展的意识越来越强，对现实环境越来越关注，具备初步的“观察—联想—类比—推理—归纳—总结”能力，具备初步的空间思维想象能力，可以从几何图形中抽象出它们的模型和共性，学生能够通过活动将新旧知识联系起来，学生在上一节已经学习了多边形的内角和公式的推导、总结，其中学生运用了观察、归纳、总结的数学方法，运用了类比、转化的数学思想，在求五边形内角和时可以通过从一个顶点画对角线分成三个三角形然后求它们的内角和得到，也可以通过从五边形内部、边上、边外取一点作辅助线转化成几个三角形求内角和得到，然后再引导学生由特殊到一般归纳n边形，学生对推导过程、运用的思想方法掌握得不错，已具备一定的建构相关数学问题模型的思维能力，在解答这一部分知识的练习题时游刃有余，而且学生对三角形，平行四边形性质及判定的相关知识也掌握得不错，基础扎实，这一节学习多边形的外角和，多边形的外角与三角形的外角紧密关联，多边形外角和定理的推导与多边形内角和定理的推导环环相扣扣，先利用五边形的

1

内角和推导五边形外角和得360，然后六边形等再总结多边形外角和都为360，这部分内容学生在老师引导下可以进行推导，然后给学生做相关的应用练习熟悉定理如何应用。

内容和内容分析：

本节是北师大版八年级下册第六章第四节第二课时内容，在探索学习过程中与多边形内角和相联系，从多边形的内角和到多边形的外角和环环相扣，前面的知识为

后边的知识做了铺垫，联系性比较强。从生活中现实背景出发提出数学问题，解决数学问题，体现了课改数学来源于现实并应用于生活的精神．本节强调使学生经历探索、猜

想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力。本节课主要引导学生探索多边形的外角和通过转化方法的探究让学生体验转化、归纳思想，以及类比的思想，从特殊到一般的认识问题的方法，发展学生合情推理能力和语言表达能力。

教学重难点设计

重点：1、了解多边形的外角定义，并能找出多边形的外角。

2、在经历探索多边形外角和公式的过程中，掌握多边形的外角和定理，利用此定理

解决相关的问题。

难点：在经历探索多边形外角和公式的过程中，掌握多边形的外角和定理，利用此定理解决相关的问题。

教学方法

观察法

动手法

讲解法

推导法

类比法

归纳法

2

教学煤体设计

教学媒体（资源）的选择

①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.自定义。

②媒体的使用方式包括：A.设疑—播放—讲解；B.设疑—播放—讨论；C.讲解—播放—概括；D.讲解—播放—举例；E.播放—提问—讲解；F.播放—讨论—总结；G.边播放、边讲解；H. 边播放、边议论；I.学习者自己操作媒体进行学习；J.自定义。

知识点

学习

媒体

媒体内容要教学

使用

占用

所

得

结

论

编

号

目标

类型

点

作用

方式

时间

1 复习多幻灯片

复习多边形复习巩固，播放

复习旧知，

5

边形内内角和公式，

创设情境，

引出新课

角和公

创设情景引引发动机

式

入新课

2

22 理解多幻灯片

学习新知

创设情境，

设疑-边

边形外引发动机，播放-边提出问题，

角和定设难置疑，提问，

解决问题，

理推导启发思维，讲解-播总结归纳

过程

呈现过程，放，

演绎原理，播放-总

归纳总结

结

3 应用多幻灯片

应用新知

展示例题

设疑-边

11 边形外加深理解

提供练习，播放-边讲解例题

角和定开阔视野

讲解

练习巩固

理解题

设疑-播放-讲解

媒体

来源

自制

自制

自制

教学过程设计

一、复习知识，创设情景

师：上节课讲了多边形的内角和，哪位同学起来说说多边形的内角和公式。

生（预设）：

(n



2)



360。

师：很好，请坐。如图，这是一个五边形广场，小刚沿五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小刚每从一条街道转到下一条街道时，你们想一想他跑步方向改变的角是哪个角？你们拿出铅笔在书上的图中标出来。

学生行动

3

师：我看很多同学已经标好了，实际上是这几个角。

师：你们想想他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？

生（预设）：5个，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5 设计意图：让学生复习之前学习的多边形的内角和知识为这节课学习作铺垫，利用小刚沿五边形广场跑步这个情景自然引出下面将要学习的多边形外角及推导它的外角和，激发学生学习、探究数学问题热情。

二、讲解新课

师：你们思考这几个角有什么特点，哪位同学给大家说一说。

生（预设）：这几个角有一个相同的特点都是五边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做外角。

师：五边形是多边形的一种，所以多边形的外角是多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角。（板书6.4.2多边形的外角和与外角的概念）

板书：一、多边形的外角

多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。

师：多边形内角的个数等于它的边数，多边形的外角的个数也等于它的边数。

在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和

4

6

师：现在我们来探究这五个外角的和是多少。你们可以画一个像上面图一样的五边形计算它们的外角和是多少。

师：上节课学习了五边形的内角和，你们多想想如何计算，哪位同学愿意起来把想法说给大家。

生（预设）：这五个外角分别与五边形的其中一个内角互补，比如∠1和∠BAE，把这五个角与相邻的内角都加起来，然后再减去五边形的内角和就可以了。

师：思想很清晰，很好，你们把这个推导过程将它写出来。

1

1

AA

B

5

5

2 2

C

E

3

1

A

D

5

4

生（预设）：∠1+∠BAE=180，∠2+∠ABC=180，∠3+∠BCD=180，∠4+∠CDE=180，∠5+∠DEA=180，∠1+∠BAE+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900

五边形的内角和为（5-2）1800，∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=0∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90000师：正确，水平越来越好。由于每个外角都有相邻的一个内角互补组成一对，一共有对，这些过程用一个等式归纳总结就是×

180（5-2）×1800，这就是归纳的数学思想。师：小刚从点沿着五边形绕一圈回到点，跑步方向改变的角有个角，想一想我们之前在探索三角形的内角和时的方法，你想到了什么？谁愿意起来说出自己的想法。生（预设）：可以过五边形外一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线，得到与这五个角相等的角，先画再观察再计算。

师：很好，请坐！大家沿着这位同学的思路画图，从中你们观察到什么。你们告诉我

生（预设）：过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′，OB′，OC′，

5

OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，

∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．

生（预设）：

E'A1A'5BED'2O4C3B'DC'师：这样做的目的是把这五个角转化为同一个顶点的和原来相等的角上，便于发现它们之间的规律。这是运用数学中转化的思想。师：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少？

生（预设）：等于0。师：也可以这样画图。∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4

A 

1

1

5

E



B



α

δ



2

γ



β







C



4

3



D

师：如果广场的形状是六边形，我们也可以运用和刚才相同的方法求它们的外角和。

6



师：从六边形的内角和出发探究问题，它的外角和为6×180（6-2）×1800。

如果是四边形，从四边形内角和考虑，它的外角和为4×180（4-2）×1800。如果是三角形，它的外角和为×180（3-2）×1800。师：如果多边形的边数为n,从上面的思路推导归纳出等于多少？

生（预设）：0

师：这是一种归纳的数学思想。用这样的式子怎么写，你们自己写一写并计算，哪位同学上来写一写并计算结果。

生（预设）：

180n—n



2)

 1800师：和多边形的内角和一样，它是个定理多边形的内角和等于0。板书：定理多边形的外角和等于0发现：师：

如果多边形每个内角都相等，即正n边形，那么它的每个外角α

也相等为360°÷n,边数n为360°÷α

设计意图：引导学生运用多边形的内角和推导五边形的外角和，再扩展到六边形、四边形、

三角形，应用多边形的内角和推导它们的外角和，从中归纳总结多边形的外角和定理，

第二种方法也是老师起引导作用，让学生尽量探索在五边形外一点作与五边形各边平行的射线，把五个外角转化到与之相等的角上观察它们组成平角的规律，从而得出结论。

三、例题讲解

师：例一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？这道题已知条件是一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，要求的是它是几边形？这道题，把多边形的边数设为n，它的内角和为（n-2）

180，它的外角和是0，根据题意得

（n-2）

180×0这是一个关于n的方程，解方程得n=8。所以多边形是八边形。

板书：解：设这个多边形是

n边形，则它的内角和是（n-2）

180，外角和等于0。根据题意，得（n-2）

180×0。解得n=8。

所以，这个多边形是八边形。

设计意图：学习应用多边形的外角和定理并且结合之前所学的知识解决相关问题。

四、课堂练习

师：一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？如果这个多边形的每个内角都

相等，那么每个内角等于多少度？

师：同学们拿出你们的纸来做，然后有哪位同学想来黑板上做，就来黑板上做。

生（预设）：解：（1）设这个多边形是n边形。

根据题意，得（n-2）

180×0解得n=6,

所以，这个多边形是六边形。

（2）（6-2）×180÷所以每个内角等于

7

师：还有一道课堂练习题，如果一个多边形的每个内角都相等，它的其中一个外角为，那么这个多边形是几边形？你们可以想想。师：来看它的已知条件，一个多边形的每个内角都相等，它的其中一个外角为，一个多边形的每个内角都相等，说明它是几边形？生（预设）：它是正多边形。师：既然它的每个内角相等，那它的每个外角相不相等？生（预设）：相等。师：因为多边形的每个内角和相邻的一个外角互补，所以内角相等，外角也相等。多边形外角和为，多边形的边数等于它外角的个数，所以它的边数为多少？生（预设÷师：对了，÷，所以它是正十二边形设计意图：让学生熟悉并掌握应用多边形外角和定理及发现的结论解决相关的问题，多边形外角和定理很多情况下与多边形内角和定理一起应用来解题，这其实考查了学生新知联糸旧知识综合应用解决问题的能力。五、布置课后作业一、的、、、、题二做完上述练习后做测评练习设计意图：第一点是让学生通过适当的练习巩固这节课所学的多边形外角和定理，并加深熟悉掌握利用此定理解题。第二点是在学习了这一节知识和做一定量的课外练习之后，做测评练习是测试自己掌握这节知识，运用其解决问能力，给合应用之前所学知识综合解决问题的思维能力、是否规范作答的习惯和细心计算的学习习惯。六、课堂小结、这节课咱们学习了多边形的外角及外角和的定义。、多边形的外角和定理等于0。、在探究多边形外角和过程中，我们使用了观察、归纳的数学方法，运用了类比、转化的数学思想。设计意图：让学生知道这节课探究学习的定理多边形的外角和等于0，以及运用的数学方法及思想。课后测评练习设计

一、对所学知识的基础测试

1、如果一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（

）

A、8

B、9

C、10

D、11 2、正九边形每个外角的度数是（

）

A、180°

B、40°

C、90° D、50°

3、如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是多少？如果这个多

边形的每个内角都相等，则它的每个内角是多少？

8

二、对所学知识的能力测试

1、一个多边形的边数由原来的6增加到n时（n>3,且n为正整数），它的外角和（

）

A、增加（n—5）×180°

B、减小（n—5）×180°

C、增加（n—2）×180°

D、没有改变

2、（2018﹒北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）

A、360°

B、540° C、720° D、900°

3、如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别为多边形的外角，则∠1+∠2+∠3=（

）

A.90°

B.180°

C.210°

D.270°

4、如图，在正方形ABCD中，截去∠A和∠C后，∠1、∠2、∠3、∠4的和是多少？

5、如图所示，小明从点A出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，……，照这样走下去，他第一次回到出发点A时。

（1）整个行走路线构成什么图形？

（2）小明一共走了多少米？

9

板书设计

多边形的外角和

一、多边形的外角

多边形的内角的一边与另一边的反向延长

例。解：设这个多边形是

n边形，

线所组成的角叫做这个多边形的外角。

则它的内角和是（n-2）

180，二、多边形的外角和定理外角和等于0。定理多边形的外角和等于0根据题意，得（n-2）

180×0。×180（5-2）×1800

解得n=8。

6 ×180（6-2）×1800

所以，这个多边形是八边形4×180（4-2）×1800

3×180（3-2）×1800

180n—n



2)

 1800定理多边形的外角和等于0形成性评价、学生能理解并掌握如何探宄多边形的外角和定理。、学生能在探究三角形的外角和定理过程中，无论是探究过程，还是探究的思想、方法都能领悟领会，熟稔于心。、学生能熟练地运用三角形外角和定理解决相关问题，并能运用它解决很多生活中的相关实际问题。教学总结与反思1、本节教学中，让学生利用上节所学知识多边形的内角和探究推导多边形的外角和定理，这一过程充分让学生发挥自己主动学习、主动思考解决问题的积极性，培养学生运用数学知识探究问题、解决问题的能力。

2、本节教学中，让学生理解并掌握多边形外角和定理的推导过程，推导所用的归纳、转化的敉学思想，推导所用的观察

、归纳的数学方法，学生能领悟领会领会，熟练掌握，发展学生合情推理能力和用数学符号表达的能力。

3、学生可以运用多边形外角和定理结合此前所学的多边形的内角和定理解决相关问题，对生活中相关问题也掌握比较好。

4、学生能更好运用探究多边形内角定理中用到的数学思想和方法解决相关数学问题，包括与生活现实相关的问题，学数学不仅学知识，还学方法、数学思想，开拓自己看问题的视野、方向，提高自己逻辑思维能力，把数学应用于实际，体会数学的价值与美。

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