反证法教学评价实录

24.2.1反证法

反证法

【教学目标】

知识与技能

1、了解反证法的含义。

2、了解反证法的基本步骤。

3、会利用反证法证明简单命题。

4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条

也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。

过程与方法

情感、态度与价值观

【教学重难点】

重点：反证法的含义和步骤。

难点：用两种方法完成平行线的传递性的证明。

【导学过程】

【情景导入】

故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李。

王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法? 假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路的人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。

我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。

那么什么叫反证法呢？（板书课题）

【新知探究】

探究一、在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。

归纳一下用反证法证题的步骤．

①假定结论不成立（即结论的反面成立）；（反设）

②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾，由矛盾判定假设不正确；（归缪）

1

③肯定命题的结论成立（结论）

你能说出下列结论的反面吗? 直线a与b相交

b是正数

a⊥b a≥0 a、b、c中至少有两个数相等

三角形中最多有一个直角

发现规律

至少有一个————一个也没有

至少有二个————至多有一个

至少有三个————至多有二个

……

至少有n个————至多有(n-1)个

探究二、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 把本题改编成填空题：

已知: 直线a、b被直线c所截，∠1≠∠2 求证: a不平行b 证明: 假设__________________ 那么 这与“___________________________________”矛盾。

∴假设不成立,即求证的命题正确。

∴a不平行b。

教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法。

探究三、

例题 已知:如图,∠A,∠B,∠C是△ABC的内角。

求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60度。

A

探究四、

求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行

（1）你首选的是哪一种方法？

（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？

教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理。

定理: 在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

B C 2

【随堂练习】 1、“a＜b”的反面应是（ ）

（A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b 2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？

___________________________________

3、已知：在ΔABC中，∠C=Rt∠。

求证：∠A、∠B中至少有一个角不大于45°

什么时候运用反证法呢？

（1）以否定性判断作为结论的命题；

（2）某些定理的逆命题；

（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；

（4）关于“唯一性”结论的命题；

（5）解决整除性问题；

（6）一些不等量命题的证明；

（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；

（8）涉及各种“无限”结论的命题等等。

【知识梳理】这节课你收获了什么？

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