回顾与思考教学设计(教案)

第一章

三角形的证明

回顾与思考 城关初中

李桂枝

一、学生知识状况分析

学生已经了解等腰三角形性质探索经验的基础上，继续深入学习证明的方法和格式的；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.

二、教学任务分析

知识目标：

在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等. 能力目标：

进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力. 情感价值观要求

通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯. 重点与难点

重点：让学生对知识有一个系统的梳理

难点：侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上，思路上可以更灵活一些，要让学生的积极性调动起来，做到以学生为本

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节:知识归纳，建立本章知识框架图；第二环节：温馨攻略，证明命题的一般步骤；第三环节：考点攻略及方法技巧；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。

第一环节：知识归纳，建立本章知识框架图

1

活动内容：通过提问方式复习本章所学习的相关基本知识，如定理、逆定理等。

活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的。

活动过程：

问题1：你能说说作为证明基础的几条公理吗？

教师通过学生回答并整理出六条公理如下：

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）

5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

问题2：

1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：

（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：

性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角；

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；

等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等．

等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°

；

等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形．

（2）与直角三角形有关的结论：

勾股定理的逆定理；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)

（3）与一般三角形有关的结论：

在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）．

2．命题的逆命题及其真假

：

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两

2

个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．

3．尺规作图

线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形

角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线．

活动效果及注意事项：在整理基本定理及相关知识时，可以先通过学生讨论，或在课前提前布置总结的任务，这样学生准备的更充足一些，课堂复习的效果估计会更好一些！

第二环节：温馨攻略

问题1：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法. ①综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；

②反证法．

（教师可关注基础较差的学生，给于关注和指导）

问题2：你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？

问题3：任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分．

已知：如图，∠AOB 求作：(1)射线OC，使∠AOC=∠BOC；

(2)射线OD、OE，使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB 作法: (1)

1、在OA和OB上分别分别截取OM、ON，使OM=ON．

2．分别以M、N为圆心，以大于于点C．

3．作射线OC

3 A

F

B

D

ECN

B

E

Ｃ

M

D

A

1MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交2

∴OC就是∠AOB的平分线．

(2)

同上，分别在AOC和BOC内部作射线OD、OE．

证明命题的一般步骤:

(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);

(2)根据题意,画出图形;

(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;

(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);

(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;

(6)检查表达过程是否正确,完善.

第三环节：考点攻略

方法技巧

1：

若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问题．同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地运用线段垂直平分线性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习中要注意到这一点！

方法技巧2：

与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，能培养同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力．解答条件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件．同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共边等，然后合理选择全等三角形的知识解决．另外，要注意这类题的答案往往不唯一，只要合理即可．

方法技巧3：

4

利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题．这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能力、理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型．

方法技巧4：

等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上，尤其是“三线合一”的性质用来对线段或角进行转化，从而摆脱用全等三角形证明线段相等或角相等的思维定势，更简捷地说明两线段或角相等．在中考中，等腰三角形常与其他知识结合，综合性强，多以证明或计算题出现．

方法技巧5：

“截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗．掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助．

第四环节：课时小结

本章的内容总结如下：

与等腰三角形、等边三角形有关的结论

通过探索、猜测、计算、证明得到的定理

与直角三角形有关的结论

与一般三角形有关的结论

命题的逆命题及其真假

线段的垂直平分线

角的平分线

尺规作图

第五环节：布置作业

5

课内：

A组题中的第3、4、5、6、7、8题；

课外：A组题中的9题，B组题第1、2、3题.

四、教学反思

本节容量较大，教师上课时对知识首先要注意给学生一个系统性的梳理，然后再侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上，思路上可以更灵活一些，要让学生的积极性调动起来，做到以学生为本。

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