习题2.1ppt配用优秀教学设计

§7.3 两条直线的位置关系

4、点到直线的距离（教学设计）

安达市高级中学数学组

赵四清

一．教学分析：

1．教材分析：

本节课是两条直线位置关系的最后一个内容，在此之前，有对两线位置关系的定性刻画：平行、垂直，以及对相交两线的定量刻画：夹角、交点。在此之后，有圆和圆锥曲线方程，因而本节既是对前面两线垂直、两线交点的复习，又能够运用点到直线的距离公式可以简便地解决问题，使学生形成完整的直线这部分知识结构体系，是为后面计算点线距离(在直线和圆锥曲线构成的组合图形中)提供一套工具。

2.

学情分析：

我所在的学校是省级重点中学，但同时安达人口不足50万，又临近大庆，优秀生源外流，同时部分农村中学教育观念和水平并不先进，很少学生在数学上享受过真正意义上的研究问题、探索发现问题的乐趣，都习惯于跟着老师的思路走，不善于自己开动脑筋去研究问题、探索问题。鉴于此，我们在教学中正逐步采用主动探究式教学模式，通过创设问题情境引导学生自己探究知识，启发学生分析发现分析比较论证，逐步培养和提高学生发现问题、探索问题的能力，以及合作意识和合作精神的目的。

二．教学目标：

1.知识与技能：掌握点到直线的距离公式及公式的推导过程，能用公式来求点线距离。

2.过程与方法：培养学生发现问题和探究问题的能力以及由特殊到一般的研究能力；教学中体现培养学生思维的严密性转化思想和分类讨论思想

3.情感态度价值观：渗透人文精神，既注重学生的智慧获得，又注重学生的情感发展，培养学生的合作意识和团队精神，通过和谐民主的教学气氛中促进师生间的沟通，培养学生科学探索精神。

三．重点、难点：

理解和掌握点到直线的距离公式，熟练的应用公式求点到直线的距离是本节学习的重点，难点是点到直线距离公式的推导。

四．教学过程设计：

1．创设问题情境：

实例：某供电局计划年底解决本地区最后一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计的坐标图（即以供电局为直角坐标原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，长度单位为千米），得知这个村庄的坐标是（15，20），离它最近的只有一条直线线路通过，其方程为：3x – 4y –

10 = 0, 问要完成任务，至少需要多长的电线？（如图所示）

1

y

P(15,20) 20



l:3x4y100

15

10

5

5 10 15 20 xo

〈字幕出示题及图，让学生阅读、理解、思考，约2分钟〉

引入课题：

[师讲]同学们，通过刚才的读题和理解已经知道，这实际上是一个求点到直线的距离的问题，也即我们这节课所要研究讨论的问题。

2．解决问题情境：

[师继续讲]下面，请同学们应用已学过的知识，自己想一个办法来解决此问题，甚至不一定要求结果，只要得出一个思路即可，思路成熟的同学可以有一个具体的方案，用实物投影展示。

〈让同学思考、讨论约5分钟，然后让学生自己举手回答，老师点评，约10分钟〉

学生可能的回答：

[答一]

拉一根绳子量一下即可。

[师问]可以，但哪里去找那么长的绳子？还有其它办法吗？

[师继续]但如果由于条件的限制，我们手里仅有纸、笔及三角板（或直尺），能不能发挥我们的数学特长，用所学数学知识来解决呢？

[答二] （让学生用实物投影展示）可用代数的方法解决：在直线上任取一点Q(x0,3x010)，

4由两点间距离公式可得：

︱PQ︱= 15x023x10200

42可以肯定，被开方式是一个二次项系数为正的二次函数，x0 又不受限制，应该有最小值，从而︱PQ︱有最小值，此最小值即为所求。

[师肯定]好思路！既利用了直线方程设出了直线上的一点，又利用两点间的距离公式得到了一个二次项系数为正的二次函数，且不管根号的影响，大着胆子求二次

2

函数的最小值，求出的最小值开平方即得结果。但要考虑两个问题：①求出的二次函数的最小值有无为负数的可能？②此种方法的运算量是否偏大？同学们可利用课后时间试着推演一下。

[答三]（实物投影展示）要求点P到直线上的点的最短距离，即求点P到直线的距离，由点到直线距离的概念，直接过点P作PQ垂直于直线于Q点，则线段PQ的长即为所求。（如图4—y2所示）

P(15,20)

20 

l:3x4y100

15

Q

10

5

5 10 15 20 o x

（图4—2）

利用斜率存在的二直线垂直的条件，可得：

4kPQ

，从而由点斜式可得到PQ的方程，进而联立直线的方程可解得点Q的坐3标，再由两点间的距离公式可得出：︱PQ︱= 9 [师肯定]好思路！直接运用了刚学过的直线的方程，二直线的交点，二直线垂直的条件，两点间的距离公式等知识，用到了解析几何的基本方法。在有数据做具体运算时不失为一种好方法，但仍有一定的运算量。不信，同学们下来后又可验算一番。

[答四（实物投影展示）]<可能预习过教材的同学> 过P作PQ垂直于直线于Q点，则PQ即为所求，再过点P分别作x轴、y轴的平行线分别交直线于M，N点（如图4—3所示）

yl:3x4y100

20 P(15,20)

M

15

Q 10

N

5

o 5 10 15 20 3 x

易得点M，N的坐标，从而得到|PN|,|PM|,|MN|，进而由直角三角形面积公式得：|PQ|=PMPNMN9

。

[师肯定]方法相当不错！既有数形结合的思想，构造的思想，又妙用了解析几何中坐标的概念，直线上的点的概念及两点间的距离公式等知识。但为什么如此做呢？（老师分析、归纳）：该做法充分运用了点P的坐标的意义，通过体现点P的坐标，发现过P作x轴、y轴的平行线时与直线l有二交点，这二交点与点P自然而然地构成了一个直角三角形，又由于这二交点在直线上，从而可得二交点的坐标，再由两点间的距离公式可进一步得到直角三角形的三条边长，至此，由直角三角形面积公式得到点P到直线l的距离|PQ|也就是水到渠成的事情了。但仍显得有一定的运算量。

（如果学生还有其它解法，老师可在黑板上随机应变地板书。）

（如果学生一个方法均未想到，老师可作如下引导：<字幕逐条显示，图形中的线段依顺序逐一显示> ①

什么是点P到直线l的距离？

过P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|即是点P到直线l的距离。（如图4—4所示）

②

点P的坐标的意义如何？

过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为K、I，则有向线段KP、IP的数量即为点P的坐标。

③

体现一下点P的坐标如何？

发现，过P作x轴的垂线时，与直线l有一交点N，且N点的横坐标与点P的横坐标一致，而N点在直线l上，从而由直线l的方程可得N点的纵坐标，进而得线段PN的长。

受此启发，过P作y轴的垂线PI时，由于与直线l无交点，故作PI的反向延长线与直线l交于点M，从而点M的纵坐标与点P的纵坐标一致，且横坐标通过直线l的方程也易求得，线段PM的长也就求得了。

y

l:3x4y100

P(15,20)

I 20 

M

15

Q

10

N

5

K

o 5 10 15 20 x

4

④眼前一亮，直角三角形MPN已浑然天成，且MN的长也可由两点间距离公式求得，从而由直角三角形面积公式可求得|PQ|的长。

3．点到直线距离公式的推导：〈15分钟〉

[师讲]通过前面[答二]、[答三]、[答四]，我们都遇到了同一个拦路虎，即运算量较大的问题，而我们今后将会遇到大量的类似问题，如果都如此运算，未免太浪费宝贵的时间。此时此刻，我们多么需要有一个简便的运算点到直线的距离的公式来解救我们！

下面，就让我们去探究这个公式吧，用我们今天的辛苦去换取我们明天的简捷吧！（暗示公式的存在，激发同学们探究的兴趣，增强同学们探究成功的信心。）

[出示问题]在平面直角坐标系中，如果已知某点P的的坐标为（x0,y0）,直线l的方程是Ax+By+C=0,（如图所示），怎样由点的坐标和直线的方程去直接求点P到直线l的距离？

[师讲]下面，仍然请同学们自己想办法解决此问题。（可以让前面一排的同学转过去与后面的同学每四个人一组进行讨论解决。老师到同学们中间去巡视，了解同学们的思路，及时的加以点拨，同时也对同学们的探究方法和探究能力做到心中有数。）

[老师估计]由于有前面的[答二]、[答三]、[答四]或老师的引导作铺垫，（这个铺垫非常重要！故前面占用了较多的时间也不可惜！）故大多数同学可能会按[答四]的方法做：

<老师可以作预见性的字幕板书，在大多数同学完成后再出示。如有同学按[答三]的思路做，老师提示，运算量太大，一般不采用。> 过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1,y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0,y2）。（如图4—5所示）

y

R

(x1,y0)

Q

P (x0,y0)o xS(x0,y2)5 （图4—5）

由：Ax1By0C0

，Ax0By2C0得：

l:AxByC0

x1By0CAx0C

，y2

AB从而

PRx0x1Ax0By0C

AAx0By0C

B2

PSy0y2从而：RSPRPS再由三角形面积公式可知：

2A2B2Ax0By0C

ABPQRSPRPS

所以PQPRPSRSAx0By0CAB22

此时，可能同学们会大舒一口气，但老师紧接着进一步提出：“诸位，考虑到A,B为零的情况没有？请进一步考虑一下A,B为零的情况如何？”

<抓住同学们思维不慎密之处，体现严密的逻辑思维，体现分类讨论的思想> 同学们的思维可能又重新活跃起来，进行分类讨论：

①当A=0，B=0时，不可能，直线都不存在。

②当A=0，B≠0时，

直线为：By+C=0（C是否为零呢？不重要！）

C亦即：y,直线为平行于x轴（或重合于x轴）的直线，

BBy0CAx0By0CCC

则：PQPSy0()y0

22BBBAB③当

A≠0，B=0时，直线为：

CAx+C=0，亦即：x

A直线为平行于y轴（或重合于y轴）的直线，

Ax0CAx0By0CCC

则：PQPRx0()x0

22AAAAB

④当A≠0，B≠0时，即为前面的推导。

此时，才可让同学们归纳总结得出点到直线的距离公式：d[老师强调]：

①公式中A,B,C，x0,y0的意义。

②公式的构造特点。（请同学自己找特点，然后老师具体说明：分子是用x0,y0代

6 Ax0By0CAB22

换直线方程中的x、y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x、y的系数的平方和的算术平方根。）

4．公式应用及拓广：

[师]同桌相互出题

[练习] 1.点Ｐ（- 5,7）到直线12x+5y-3=0的距离d= ____

2.点（0,5）到直线

y=2x 的距离d=________

3.坐标原点O到直线

x+y-4=0上的点Ｍ的距离的最小值为（

）

Ａ

10

Ｂ6

Ｃ

22

Ｄ

２

4.已知：△ＡＢＣ的三个顶点分别为Ａ（１，３），Ｂ（－５，６），

Ｃ（－４，－２）

求△ＡＢＣ的面积．

5.求经过点Ａ(-1，2) 且与原点（0,0）距离等于

<以上抽同学回答，老师复述或纠正，检验同学们对公式的掌握及运算的准确性>

6.小结及延伸：（1分钟）

[学生总结]：

[老师归纳]（根据学生总结的回答）本节课由于有同学们的辛勤探索，积极思维才得到了这个重要公式：

dAx0By0CAB222

的直线Ｌ的方程. 2

请同学们一定倍加珍惜自己的劳动成果，牢固掌握和灵活运用这两个公式。

学有余力的同学课后还可以进一步考虑：是否还可用已学的向量知识去进一步探索点到直线的距离公式？

7作业与思考：<1分钟> 1>习题7.3第14.题。

2>思考两直线间的距离公式

五．教学媒体运用说明：

通过创设问题情景自然引入课题，降低教材难度。主要由学生去探究，去发现，去讨论，去归纳总结得到公式，再辅以适当的例题、习题帮助学生熟悉公式，学会运用。特别是引导学生对最后一个练习的进一步探究，既拓广了教材，又进一步加深了同学们对从特殊到一般的研究方法的理解。从而达到探究——讨论——归纳总结——完善结论——牢固掌握——灵活运用的目的。

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