3.1直线的倾斜角与斜率（通用）公开课教案（教学设计）

直线的方程与性质

一、基础知识：

（一）直线的要素与方程：

1、倾斜角：若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所成的角称为直线l的倾斜角，通常用,,,（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0

（2）倾斜角的取值范围0, 2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为ktan （1）当表示

2时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）

（4）k越大，直线越陡峭

（5）斜率k的求法：已知直线上任意两点Ax1,y1,Bx2,y2，则k的斜率是确定的，与所取的点无关。

3、截距：若直线l与坐标轴分别交于a,0,0,b，则称a,b分别为直线l的横截距，纵截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线

4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关

（1）一点一方向：

①

点斜式：已知直线l的斜率k，直线上一点Px0,y0，则直线l的方程为：

y2y1，即直线x2x1yy0kxx0

证明：设直线l上任意一点Qx,y，根据斜率计算公式可得：k的每一点都应满足：yy0kxx0，即为直线方程

②

斜截式：已知直线l的斜率k，纵截距b，则直线l的方程为：ykxb yy0，所以直线上xx0

证明：由纵截距为b可得直线与y轴交点为0,b，从而利用点斜式得：ybkx0 化简可得：ykxb （2）两点确定一条直线：

③

两点式：已知直线l上的两点Ax1,y1,Bx2,y2，则直线l的方程为：

yy2xx2

y1y2x1x2④

截距式：若直线l的横纵截距分别为a,bab0，则直线l的方程为：证明：从已知截距可得：直线上两点a,0,0,b，所以kxy1

abb0b

0aal:ybbxyx0bxayab1

aab⑤

一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由x,y的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：AxByC0（A,B不同时为0），此形式称为直线的一般式

一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果

可用于判定直线的平行垂直关系

点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式

5、五种直线形式所不能表示的直线：

（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）

（2）截距式：①

截距不全的直线：水平线，竖直线

②

截距为0的直线：过原点的直线

6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

（二）直线位置关系：

1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合

如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是l1,l2，则要考虑重合的情况。

2、直线平行的条件

（1）斜截式方程：设直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2

①

k1k2,b1b2l1∥l2

②

若直线l1,l2的斜率存在，则l1∥l2k1k2

（2）一般式方程：设l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20，则

①

当A1B1C1时，l1∥l2

A2B2C2②

A1B2A2B1，且AC12A2C1和B1C2B2C1中至少一个成立，则l1∥l2（此条件适用于所有直线）

3、直线垂直的条件：

（1）斜截式方程：设直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2，则l1l2k1k21

（2）一般式方程：设l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20，则：

A1A2B1B20l1l2

4、一般式方程平行与垂直判定的规律：

可选择与一般式方程AxByC0对应的向量：aA,B，即有：

l1:A1xB1yC10a1A1,B1,l2:A2xB2yC20a2A2,B2，从而a1,a2的关系即可代表l1,l2的关系，例如：

ABa2l1∥l2（注意验证是否会出现重合的情况）

12A2B1a1∥A1A2B1B20a1a20a1a2l1l2

（三）距离问题：

1、两点间距离公式：设Ax1,y1,Bx2,y2，则AB2、点到直线距离公式：设Px0,y0,l:AxByC0

则点P到直线l的距离dPlx1x22y1y2

2Ax0By0CAB22

3、平行线间的距离：l1:AxByC10,l2:AxByC20

则l1,l2的距离为d（四）对称问题

1、中心对称：

（1）几何特点：若A,A关于O点中心对称，则O为线段AA的中点

''C1C2AB22

（2）解析特征：设Ax0,y0，Oa,b，则与A点关于O点中心对称的点A'x,y满足：

x0xax2ax02

yyy2by0b022、轴对称

（1）几何特点：若若A,A关于直线l轴对称，则l为线段AA的中垂线，即AAl，且AA的中点在l上

（2）解析特征：设Ax0,y0，l:ykxb，则与A点关于l轴对称的点A'x,y满足：

''''yy01k'kAAxx0

，解出A'x,y即可

yy0kxx0b22（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线l，直线l1关于l的对称直线为l1'

①

若l1∥l，则l1'∥l1，且l1'到对称轴的距离与l到对称轴的距离相等

②

若l1与l相交于P

，则取l1上一点A，求出关于l的对称点A，则AP即为对称直线l1'

（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）

1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值

（1）与直线AxByC0平行的直线系方程为：AxBym0（m为参数，且''mC）

（2）与直线AxByC0垂直的直线系方程为：BxAym0（m为参数）

2、过定点的直线：

（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可

（2）已知l1:A，则过l1,l2交点1xB1yC10,l2:A2xB2yC20（l1与l2不重合）的直线系方程为：l1l20A1xB1yC1A2xB2yC20（该直线无法表示l2）

3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程

二、典型例题：

例1：直线sinxy20的倾斜角的取值范围是（ ）

A．0, B．0,43

C． D．,0,0,,

4244思路：要求倾斜角（设为），可将直线转化为斜截式得：ysinx2，所以

，即tan1,1，结合正切的定义以及倾斜角的范围可得：0,答案：B 小炼有话说：一是要注意由正切值求角时，通过图像判断更为稳妥，切忌只求边界角，然后直接根据角大小写区间。二是要注意倾斜角的取值范围：0,，所以当k0时，倾斜角为0（而不是）

例2：经过P(0,1)作直线l，若直线l与连接A(1,1),B(2,3)的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 ．

思路：直线l可视为绕P(0,1)进行旋转，在坐标系中作出线段AB，即可由图判断出若直线l与线段AB有公共点，旋转过程中的第一条直线与最后一条直线分别为直线43, 4PB,PA，则kPA11102,kPB31202，由图像可得：k,2答案：k,22, 2,

小炼有话说：本题如果没有图像辅助，极易将结果写成2,2，通过观察可得旋转的过程当中，倾斜角不断变大，由锐角变为钝角。从而斜率的值应为正负值之外，而非正负值之间。所以处理此类问题时：一定作图，作图，作图！！

例3：若l1:xm1ym20,l2:mx2y80的图象是两条平行直线，则m

的值是（ ）

A．m1或m2 B．m1 C．m2 D．m的值不存在

思路：由平行线可得：mm12可解得：m1或m2，检验是否存在重合情况，将m1代入直线可得：l1:x2y10,l2:x2y80，符合题意，将m2代入直线可得：l1:xy40,l2:2x2y80，则l1,l2重合，不符题意，所以舍去。综上可得：m1

答案：B

小炼有话说：在已知平行关系求参数取值时，尽管在求解时可仅用x,y系数关系，但解出参数后要进行验证，看是否会导致直线重合。

例4：已知直线axy10与(a2)x3y10互相垂直，则实数a等于（ ）

A．3或1 B．1或3 C．1或3 D．1或3

2思路：由两直线相互垂直可得：aa2130，即a2a30，解得a3或a1 答案：A 例5：已知直线通过点M3,4，被直线l：xy30反射，反射光线通过点N2,6，

则反射光线所在直线的方程是 ．

思路：本题与物理知识相结合，可知反射光线过已知点在镜面中的虚像（即对称点），所以考虑求出M3,4的对称点M，再利用N2,6确定反射光线即可。

'解：设M的对称点M'x0,y0，则有MMl，且MM的中点''x03y04,在l上

22y041x0y010x03

M'1,0

xy100x03y0430022kM'N6

M'N:y6x1即6xy60

答案：6xy60

例6：直线mnx2mnym2n0

（m,nR

且m,n不同时为0）经过定点____ 思路：直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含m的项与含n的项分别归为一组，可得：mx2y1nxy20，若要让m,n“失去作用”，则答案：1,1

小炼有话说：含参数的直线方程要么是一组平行线（斜率为常数），要么考虑过定点，而定点的求解可参照例6的求法。寻找定点是一种意识，即遇到含参数的直线时，便可考虑能否找到定点，从而抓住此类直线的特征（绕定点旋转），有助于解题。

例7：已知直线l:xmy3m0上存在点M满足与两点A1,0,B1,0连线的斜率x2y10x1，解得，即定点为1,1 xy20y1

kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是_________ 思路：设直线上的点Mx0,y0，则M需同时满足两个条件：一是符合直线方程，二是保证斜率乘积为3.对于条件一，即x0my03m0，对于条件二，按照斜率计算公式可得kMAy0yyy223x01。所以存在满足条,kMB0，所以003即y0x01x01x01x01xmy3m022223m1y63my9m30有件的M，等价于方程组22y3x3解，所以判别式63m2222,43m219m230，可解得m 2222,答案：m

22