小结PPT及专用教学设计内容

直线的对称问题教学设计

唐山市第二中学

赵永朝

学习目标：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称

教学重点：学会用数形结合法解决问题，训练学生的化归意识和转化思想的应用。

点关于直线对称，直线关于直线对称。

教学难点：直线关于直线对称问题

教学方法：教师引导，学生自主解决问题

教学内容：

一、复习回顾

1、直线互相垂直的条件：__________________ 2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为______________ 3、点

( x o，yo ) 在直线

Ax + By + C = 0 上的条件是

__________________ 二、自主学习，合作探究

1、点关于点对称

例1. 已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A点关于B点的对称点C的坐标。

解题要点：中点公式的运用

练、已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B（x0,y0）。

分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。

解：设点A（－2，3）关于点P（1，1）的对称点为B（x0,y0），则由中点坐标公式得2x01,2x04,3y01,2解得y01所以点A关于点P（1，1）的对称点为B（4，－1）。

2、直线关于点的对称

例2、已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的对称点A′的坐标。

解题要点：k • kAA’ = -1AA’中点在l 上

练、求直线3xy40关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。

分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为3xyb0。

解：由直线l与3xy40平行，故设直线l方程为3xyb0。

|614||61b|.2231

由已知可得，点P到两条直线距离相等，得31解得b10，或b4（舍）。则直线l的方程为3xy100.

评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线3xy40上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。

3、点关于直线的对称

例3.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l 2的方程

解题要点：

l 1 // l 2且P到两直线等距。

练、求点A（2，2）关于直线2x4y90的对称点坐标。

利用点关于直线对称的性质求解。

解法1（利用中点转移法）：设点A（2，2）关于直线2x4y90的对称点为A′（x0,y0），则直线AA′与已知直线垂直，故可设直线AA′方程为4x2yc0，把A（2，2）坐标代入，可求得c12。

∴直线AA′方程为2xy60。

2x4y90,3,32xy60由方程组解得AA′中点M2。

x023y02,322由中点坐标公式得2，解得x01,y04.

∴所求的对称点坐标为（1，4）。

评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。

分析：设B（a，b）是A（2，2）关于直线2x4y90的对称点，则直线AB与l垂直，线段AB中点在直线2x4y90上。

解法2（相关点法）：设B（a，b）是A（2，2）关于直线2x4y90的对称点，根据直线AB与l垂直，线段AB中点在直线2x4y90上，

1b21,2a22a24b290,22则有

解得a1,b4.

∴所求对称点的坐标为（1，4）。

评注：①中点在2x4y90上；②所求点与已知点的连线与2x4y90垂直。

4、直线关于直线的对称

例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y+3=0对称的直线l 的方程。

解题要点：若两直线相交，先求交点P,再在上取一点Q求其对称点得另一点Q’,两点式求l方程

练、求直线l1:xy20关于直线l2:3xy30对称的直线l的方程。

分析：设所求直线l上任一点为P（x,y），利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线l1方程进行求解。

解：设所求直线l上任意一点P（x,y）（Pl2）关于l2的对称点为Q（x1,y1），

x1xy1y4x3y9330,x,2215yy1y3x4y3.1,15xx1

则解得

又因为点Q在l1上运动，则x1y120。

4x3y93x4y32055，解得7xy220。即直线l的方程为

7xy220。

评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线l1上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线l2的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。