习题2.1教学设计实例

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

课前预习

点的表示

直线的表示

平面的表示

点在（不在）线上

点在（不在）面内

线在（不在）面内

直线与直线相交

直线与平面相交

平面与平面相交

大写字母A，B，C

两个大写字母AB、BC或小写字母l，m

希腊字母，，或三个大写字母平面ABC

Al(Al)

A(A)

l(l)

lmP

lP

l

重要知识点讲解

知识点一：平面的基本性质

内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理1作用：判断直线是否在平面内；内容：过不在同一直线上的三点有且只有一个平面；

公理2作用：确定平面；证明点、线共面问题；推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面；推论推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面；内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理3作用：判定两个平面是否相交；判断点是否在直线上；请用符号语言描述以上公理或推论：

例题1

如图所示，在三棱锥SABC的边SA,SC,AB,BC上分别取点E,F,G,H，若EFGHP，求证：EF,GH,AC三条直线交于一点；

知识点二：直线与直线之间的位置关系





定义：在同一平面内且不相交的两条直线平行

平行线的传递性：a//b,b//ca//c

“三线八角”法(同位角、内错角、同旁内角）

平行1三角形（梯形）中位线：（）两边中点的连线平行第三边且等于第三边的一半证明方法

 （2）过一边的中点作底边的平行线，必定平分另一边平行四边形性质：先证明是平行四边形，再利用平行四边形的性质——对边平行



截线平行：两平行平面被第三个平面所截，截线平行

定义：夹角为90度的两条直线垂直

等腰三角形三线（顶角平分线，底边中线和底边的高）合一

直角三角形的判定：一边中线等于这边的一半的三角形是直角三角形垂直（相交）

证明方法勾股定理的逆定理

菱形的性质：先证明是菱形，再利用菱形的性质——对角线相互垂直

0特殊例子：60相邻两边长度之比为2：

1,则较长边所对的角为直角



定义：不相交不平行的两条直线

范围：(0,900]

1、平移（找平行线）至相交，构成三角形

异面所成的角

求解过程2、指出所成的角3、解三角形（如果判断是直角三角形，在解题之前必须先证明）



方法：证明其中一条直线垂直另外一条直线所在的面，即线面垂直线线垂直垂直的证明

技巧：用规则直线垂直不规则直线所在的面

例题1

在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是AA1,CC1中点，求证：BF//ED1；

变式1

如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA中点；（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果ACBD，求证四边形EFGH是菱形；（3）如果ACBD，求证四边形EFGH是矩形；

例题2 正方体AC1中，E,F分别是A1B1中点，求异面直线DB1与EF所成的角；

【解法一】

【解法二】

知识点三：直线与平面之间的位置关系



定义：直线和平面没有公共点内容：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

性质定理符号语言：a//,a,ba//b

文字语言：直线外一条已知直线与平面内一条直线平行，则已知直线与平面平行，

平行 即线线平行线面平行

性质与判定符号语言：a,b,a//ba//

判定定理文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都与另外一个平面平行，

 即面面平行线面平行

符号语言：//,aa//

直线在平面内:直线与平面有无数个公共点

定义：直线和平面有一个公共点

范围：（0,900]

相交夹角找出线面角求解过程

解直角三角形

定义：如果一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直

性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直这个平面内所有的直线

文字语言：如果一条直线垂直一个平面的两条相交直线，那么这条直线垂直这个平面，

 即线线垂直线面垂直垂直符号语言：m,n,mnP,am,ana

性质与判定判定定理

文字语言：如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内垂直于交线的直线与另外一个

平面垂直，即面面垂直线面垂直



符号语言：m,n,mnP,am,ana例题1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AC（点D不同于点C），11，D,E分别是棱BC,CC1上的点且ADDE,F为B1C1的中点，求证：直线A1F//平面ADE；

变式1如图，在四棱锥PABCD中，

E,F分别是AP,AD的中点，求证：直线EF//平面PCD；

例题2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC450，ADAC1，O为AC中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD中点；证明：PB//平面ACM；

【分析】虽然在平面ACM中不能直接找到与PB平行的直线，但连接MO后发现，MO//PB；

变式2如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD,ADA1B1,BAD600；证明：CC1//平面A1BD；

例题3

如图，已知在ABC中，ACB900，SA平面ABC，ADSC于D；求证：AD平面SBC；

变式3

在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa,PAPC2a，求证：PD平面ABCD；

例题4如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上；证明：APBC；

【分析】很明显，BC相对AP更规则一些，所以应该去证明BC垂直AP所在的平面。

变式4如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBAC，点M是棱BB1上一点；求证：MDAC；

例题5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC450，ADAC1，O为AC中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD中点；求直线AM与平面ABCD所成角的正切值；

变式5如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1,PC23,PDCD2；求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值；

ABC450，变式6

如图，在五棱锥PABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB//CD，AC//DE，AE//BC，AB22，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形；(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；

知识点四：平面与平面之间的位置关系

判定定理文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号语言：a//,b//,a,b,abP//文字语言：如果一个平面两条相交直线分别平行另一个平面两条相交直线，平行定理的推论 则这两个平面平行符号语言：a,b,m,n,abP,mnQ,a//m,b//n//文字语言：如果两个平面都和第三个平面平行，那么这两个平面平行符号语言：//,////其它判定方法文字语言：垂直于同一条直线的两个平面平行符号语言：m,m//定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直垂直判定定理符号语言：m,m夹角（二面角）的范围：（0,1800)找出夹角的平面角相交求解过程解三角形定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作 垂直于棱的射线垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面求二面角的常见求法 形成交线，这两条射线所成的角即为二面角的平面角垂线法：利用线面垂直的性质寻求二面角的平面角，是最常用，也是 最有效的一种方法

D,E,F分别是棱AC,BC,SC的中点，例题1

如图所示，在三棱锥SABC中，求证：平面DEF//平面SAB；

变式1

已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是AA1,CC1中点，求证：平面BDF//平面B1D1E；

例题2 如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA900，PBBCCA4,E为PC中点，M为AB中点，点F在PA上，且AF2FP；求证：CM//平面BEF；

【分析】很明显，在平面BEF内找不到一条直线与CM平行的直线，因此只能采用第二种方法来证明，即将直线CM构成一个平面。

【技巧与分析】作一条直线与另一个面内的一条直线平行，再证明一条直线与平面内的一条直线平行；即：过M作MG//BF交PA于G，连接CG，再证明：CG//EF；

变式2如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD；若BCD1200，M为线段AE的中点，求证：DM//平面BEC；

例题3如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1AE平面D1DE；

ABAA11，AD2，E是BC中点；

变式3如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB900，ACBC证明：平面BDC1平面BDC；

1AA1，D是棱AA1的中点。2

例题4

如图所示，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为450，与面所成的角的大小为300，求二面角MN的大小；

【答案】450；

变式4

如图所示，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE；（1）求证：AE

平面BCE；（2）求二面角BACE的正弦值；

知识点五：求体积、距离

三棱锥，可转换顶点和底面；常见几何体的体积求法四棱锥，不能转换顶点和底面；体积1、找到高（必要时要证明）求体积步骤

2、求出底面积和高代入公式异面直线之间的距离距离点到平面的距离平行平面的直线到平面的距离

【方法】先找出高（即垂直底面的线段），然后代入公式即可。三棱锥可以转换顶点和底面。

例题1 (2012福建改编)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1,AA12，M为棱DD1上的一点；求三棱锥AMCC1的体积；

变式1如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CE//AB；若PAAB1,AD3,CD2，CDA450，求四棱锥PABCD的体积；

变式2如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PD//QA，QAAB的体积与棱锥PDCQ的体积的比值；

1PD；求棱锥QABCD2

变式3如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11，AD2，E是BC中点；求三棱锥AA1DE的体积。

例题2如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA900，PBBCCA4,E为PC中点，M为AB中点，点F在PA上，且AF2FP；求三棱锥FABE的体积；

方法：①直接作垂线段，这种方法虽可用，但求解比较困难；②等体积法，即根据三棱锥的等体积法；

例题1（2010广东）如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED，FB5a；（1）证明：EBFD；（2）求点B到平面FED的距离。