探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教学设计内容推荐

普通高中课程标准实验教科书

人教A版选修1-1/选修2-1 第二章

圆锥曲线与方程

-->选修1-1 2.1 椭圆

/ 选修2-1 2.2 椭圆

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探究与发现

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为什么截口曲线是椭圆

【课标分析】

1．

了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2．

经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、焦点、焦距等基本概念。

3．

通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想。

4．

了解椭圆的简单应用。

【教材分析】

本章引言首先从欧式几何角度介绍圆锥曲线产生的过程，这样既可使学生经历概念的形成过程，也有利于学生从整体上认识三种圆锥曲线的内在联系；在学习椭圆过程中，体会椭圆与科研、生产以及日常生活的密切关系，使得学生学习椭圆的兴趣提高；通过“探究与发现”，为有兴趣的学生提供了发展空间，在学习举世闻名的Dandelin双球的同时，渗透数学史与数学文化，并让学生了解可以有不同的研究椭圆的方法。

【学情分析】

本课是教材“探究与发现”部分内容，为有兴趣的学生提供了发展空间。此前学生在学习“椭圆及其标准方程”和“椭圆的简单几何性质”的过程中，体会了椭圆与科研、生产以及日常生活的密切关系，具备了学习本课内容的基本知识。在平时的学习过程中学生已经具备了一定的对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等能力，形成了一定的主动探究、合作交流的习惯、严谨治学的态度、勇于探索的学习品质，分析问题和解决问题的能力。

【教学设计】

一、源于生活

善于发现

教师：同学们，椭圆是一种简朴而优美的曲线，在生活中我们很容易捕捉到它，比如大家小时候应该也研究过路灯下球的投影，（配图）这种图形的边界曲线是椭圆吗？

学生：是的. 教师：这似乎已成为人们的一种常识，当然，

这种投影现象，在物理学的观点下看其实就是

球的点光源投影模型（配图）.

二、类比联想

敢于质疑

我们之所以将椭圆称为一种圆锥曲线（教材配图），

是因为它可以利用平面截圆锥得到，

比如这个借口曲线是椭圆吗？（教师可借助道具演示）

学生：是的

教师：有疑问吗？

学生：没有

教师：好的，这个结论当然没有问题，这种曲线确实是椭圆；但事实上，包括刚才球的点光源投影模型，大家其实是通过直观感知得到的结论，而数学是一门严谨的学科，这节课我们的主要任务就是证明这类截口曲线确实就是椭圆.

三、理清思路

选择方法

当然，这是一个极具挑战性的问题. 一个新问题是否能够解决，主要还是依赖于我们现有的认知水平，不过思路必须清晰，我们可以从什么角度入手很重要. 我们这个命题是“××是椭圆”，那么我们如何鉴定椭圆呢？

x2y2学生：（1）解析法：形如1正数m,n,且mn

mn（2）椭圆定义法：定点F1，F2，若动点P满足PF，

1PF2常数（常数大于F1F2）则动点P的轨迹为椭圆，称定点F1，F2为椭圆的焦点.

教师：首先，平面解析法为我们提供了一种思路，不过我们这个问题是三维立体结构，这种想法很好，但是按照同学们目前的认知水平，我们只能放手；于是，我们就只有椭圆的定义法这条路了，当然，椭圆方程的获得其实也是源于椭圆定义的. 四、明确方向

类比推理

所以，我们接下来有3个任务：

①寻找定点F1，F2，

②证明：PF1PF2常数，

③验证：常数大于F1F2

教师：我们的首要任务是“寻找定点F1，F2”，这个一个从无到有的问题，如何思考？

五、合理猜想

探究思路

事实上，我们很多灵感都源于生活，大家对比一下“球的点光源投影模型”和“某类平面截圆锥问题”. （配图）

学生（欣喜）：哦，没错，是一致的. 球的点光源投影模型中，平面与球的切点在椭圆轴线上，感觉像是我们需要寻找的点.

教师：事实上这个点很有意思，随着点光源的移动它不会改变，符合定点特征，具有一般性. 学生（兴奋）：是的.

教师：虽然我们目前还无法判断，这个点是不是我们需要寻找的目标，但至少我们有一个努力的方向了. 于是，我们通过在椭圆所在平面上方引入一个球得到一个定点，那么另外还需要一个顶点，如何寻找呢？

学生：在椭圆所在平面下方引入一个球.

教师：很好，当然，相对而言下方的球就要大一点了. 其实大家可以将这个过程通过“光线可逆”的角度来理解.

六、数形结合

严谨论证

教师：因为光线与上下两个球相切，并且切点的轨迹是所在平面相互平行的两个小圆，所以不妨设两条切点轨迹之间的台体母线长为L（定值），为了更加直观，我们可以将图形作一些旋转并且将局部放大一点. 设切点为F1，F2，任意光线AB与截口曲线交于点P，PA，PF2是球外一点向球引的两条射线，故PAPF2；同理，PBPF，所以PF，且ABF1F2

1PF2AB1

七、名家简介

体验文化

这种方法非常巧妙，但其实灵感源于生活，同学们要有意识地去发现生活中的数学. 当然，这种方法最早是由比利时数学家G．P．Dandelin（丹德林）提出，所以这种双球结构我们称为“丹德林双球”.

八、举一反三

即境试航

例题：如图3，用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到

一条截口曲线，你能仿照上述方法，证明截口曲线也是椭圆吗？

教师：这种模型我们在生活中也能轻易捕捉到，比如我们用圆柱形水杯喝水时某一类水平面；圆锥与圆柱虽然是两类不同的几何体，但是从运动变化的角度看，将圆柱上地面退化成一个点，就可以实现两者的转化，刚才这类圆锥截口曲线的证明，我们是通过引入一小一大两个球来实现的，那么现在这个问题呢？

学生（兴奋）：把上面的球放大

教师：大家试试看！

学生：在截面上下均放置一个半径与圆柱底面半径相同的球，设切点为F1，F2，任意母线AB与截口曲线交于点P，PA，PF2是球外一点向球引的两条射线，故PAPF2；同理，PBPF，所以PF，1PF2AB1且ABF1F2.

图3

九、归纳小结

个性学习

一种思想（数形结合）：数缺形时少直观，形少数时难入微；

一种意识：数学源于生活，生命力的体现；

一种体验：Dandelin双球，美妙之处，远不止于此.可以解决任意平面截圆锥所得截口曲线问题（拓展材料）.