1.1.3 四种命题间的相互关系教学内容概述

1.1.3

四种命题间的相互关系

学习目标

1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题

2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系. 3.会利用命题的等价性解决问题. 一、知识点梳理

知识点一

四种命题的概念

思考

给出以下四个命题：

(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；

(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2. 你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？

答案

命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定. 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题. 如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫做互否命题. 如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫做互为逆否命题. 把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题. 知识点二

四种命题的关系

思考1

为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？

答案

逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，则綈p. 思考2

原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？

答案

互逆、互否、互为逆否. 四种命题的相互关系

知识点三

四种命题的真假关系

思考1

知识点一的“思考1”中四个命题的真假性是怎样的？

答案

(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题. 思考2

如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？

答案

原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题. (1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题. (2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系. (3)一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

(4)当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题的等价性来证明. 二、典型例题

类型一

原命题的其他三种命题

例1

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x>10，那么x>0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 解

(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么该直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么该直线不垂直于平面；

逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么该直线不垂直于平面内的两条相交直线. (2)逆命题：如果x>0，那么x>10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.

(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；

否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；

逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2. 反思与感悟

由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论. 跟踪训练1

分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：

(1)实数的平方是非负数；

(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数. 解

(1)原命题是真命题. 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真命题. 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真命题. 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.真命题. (2)原命题是真命题. 逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；

否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；

逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题. 类型二

四种命题的关系

例2

(1)命题“若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限”与命题“若函数y＝f(x)不是幂函数，则它的图象过第四象限”的关系是________. (2) 命题“等底等高的两个三角形是全等三角形”与命题“全等三角形是等底等高的两个三角形”的关系是______________. (3)命题“若a>b，则c－2a

(1)互否命题

(2)互逆命题

(3)互为逆否命题

(4)否命题

解析

(1)已知两命题的条件和结论分别否定，故它们是互否命题. (2)已知两命题的条件和结论正好互换，故它们是互逆命题. (3)已知两命题的条件和结论分别否定且正好交换，故它们是互为逆否命题. (4)由四种命题的关系可知，命题p的逆命题是r的否命题. 反思与感悟

四种命题关系判断的两个要领

(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论之间的关系.

(2)原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题与否命题也互为逆否命题. 跟踪训练2

有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“同位角相等”的逆命题. 其中真命题的个数是________. 答案

1 解析

①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题. ②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题. ③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，

解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，

故是假命题. ④“相等的角是同位角”是假命题. 类型三

等价命题的应用

例3

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假. 解

方法一

原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集.真假判断如下：

因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

若a<1，则4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点. 所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真. 方法二

先判断原命题的真假. 因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

即4a－7≥0，所以a≥1.所以原命题成立. 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真. 反思与感悟

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题. 跟踪训练3

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

证明

“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1 ＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1 ＝0. ∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确. 三、课堂检测

1.命题“实数的平方是非负数”的逆命题是___________。

答案

若一个数的平方是非负数，则这个数是实数

解析

命题“实数的平方是非负数”改写为“若一个数是实数，则它的平方是非负数”，其逆命题是“若一个数的平方是非负数，则这个数是实数”.

2.命题“若x2≠1，则x≠1”的否命题是________命题(填“真”或“假”). 答案

假

解析

命题“若x2≠1，则x≠1”的否命题是“若x2＝1，则x＝1”，是假命题. π23.命题“若α＝，则sin α＝”的逆否命题是______________________________________ 42__________________. 答案

若sin α≠2π，则α≠

244.命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”与“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”的关系是________________. 答案

互为逆命题

5.命题“圆内接四边形是等腰梯形”的等价命题是_________________ ________________________________________________________________________. 答案

若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆

解析

原命题与其逆否命题等价，等价命题是“若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆”.

四．规律方法总结

1.写四种命题可以按以下步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q. (2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q. (3)按照四种命题的结构写出所有命题. 2.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.