习题3.1优秀公开课教案

课题：直线的倾斜角与斜率

（习题课） ---赵田芳

一、

教材分析

1、

教学内容

人教版

普通高中课程标准实验教科书（必修2）第三章§3.1直线与斜率的倾斜角

2、

地位与作用

在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质。现在我们采用另一种研究方法——坐标法来研究几何问题。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法，这门科学称为解析几何。

解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。

本章我们研究的是直线与方程,这是我们在初中就熟悉的知识，当时是在函数的观点下进行，是借助于“形”研究“数”的问题，从今天开始要转化一个角度，利用坐标系，借助于“数”研究“形”的问题，也就是用“坐标法”进行研究。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，并在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。 二、教材目标

1、知识目标 ①

让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。

②经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。

③学生掌握用代数的方法判定两直线平行或垂直的方法，

并能熟练运用。

2、能力目标

①

通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。

②

通过两条直线平行和垂直的判断与斜率关系的建立，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

3、情感目标：

① 通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。 ②

通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。

三、教学重点

1、理解直线的倾斜角和斜率的概念,两条直线平行及垂直的条件；

2、掌握求直线斜率的两种方法，能根据已知条件判断两条直线的位置关系；

3、体会数形结合及分类讨论思想的作用。

四、教学难点

1、准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率；

2、根据直线的平行或垂直求字母参数的值. 五、教学方法

通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决问题的能力，以及数形结合和教师启发引导与学生自主探索相结合的能力。

六、教学手段

多媒体辅助课堂教学

七、教学过程

1、

直线倾斜角的定义

[建构数学] [活学活用]

[师生活动]

[提出问题]

倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_________与直线倾斜角．

1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )

独立解决，彰显个人能力

l______方向之间所成的角叫做直线l的2、若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

)

由第二题倾斜角的值引入倾斜角范围A．30° B．60° 的记忆

C．30°或150°D．60°或120°

2、直线倾斜角的范围

[建构数学]

[提出问题] 在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？

[活学活用]

则直线l的倾斜角范围是

(

)．

[师生活动]

1、直线l经过第二、四象限，

在问题中老师给出图形，学生观察总结倾斜角范围，

倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是________________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

A．0°≤α＜90 B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°

D．0°＜α＜180°

2、已知点P(1，1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为 (

)．

A．135°

B．90° C．45°

D．30°

小组讨论，给出练习答案；老师点评

3、直线斜率的定义

[建构数学]

[提出问题] 斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________.

[活学活用]

判断下列命题是否正确: 1.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 ; [师生活动]

学生给出答案，师生共同总结倾斜角α与斜率k的关系：

(1)直线都有倾斜角，但并不是所有

2.直线的倾斜角为

,则直tan线的斜率为 ; 3.因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在; 4.两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等; 5.两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等; 6.直线斜率的范围是R;

的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．

(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．

4、直线斜率的公式

[建构数学]

[提出问题] 通过坐标比，发现直线的斜率公式是？

[活学活用]

1、已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为_____．

2、已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值______

3、过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_______；

[师生活动]

老师引导学生总结

（1）直线的斜率与两点顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可同时调换。

(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．

已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，如果 x1≠x2，则直线 PQ的斜率为：_______________

5、两条直线平行的判定

[建构数学]

[提出问题] 设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.

结论：对于两条不重合的直线l1、l2，其[活学活用]

例1、判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行. (1) l1经过点A(－1, －2), B(2,1), l2经过点M(3,4), [师生活动]

对于本题的(2)、(3)、(4)务必探究l1、l2是否有重合现象.

斜率分别为k1、k2，有_______________

N(－1, －1);

(2) l1的倾斜角为45°, l2经过点A(1,1), B(2,2); (3) l1经过点A(0,1), B(1,0), l2经过点M(－1,3), N(0, 2); (4) l1经过点A(－3,2), B(－3,10),

l2经过点M(5,－2), N(5,5).

6、两条直线垂直的判定

[建构数学]

[提出问题] 设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2( α1、α2≠90°).

[活学活用]

例1、判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直. (1) l1经过点A(－1, －2), B(1,2), l2经过点 M(－2, －1), N(2,1);

(2) l1的斜率为－10, l2经过点A(10,2), B(20,3);

(3) l1经过点A(3,4), B(3,100), l2经过点M(－10,40), N(10, 40). [师生活动]

师生总结：

两条直线垂直需判定

k1k2＝－1, 使用它的前提条件是两条直线斜率都存在, 若其中一条斜率不存在, 另一条斜率为零, 此时两直线也垂直.

结论：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为k1、k2，则有______________

八、课堂小结 提炼升华

1、

直线的倾斜角定义及其范围：

2、

直线的斜率定义：

3、

斜率公式：

4、

两直线平行的判定

5、

两直线垂直的判定

学生小组总结，

看谁说得又全又对

九、布置作业

(竞技场)

1、

（本题满分12分)已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.

2、

（本题满分12分)已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

3、（本题满分12分)已知直线l1经过点A(2, a), B(a－1,3), 直线l2经过点C(1,2), D(－2, a＋2). (1)若l1∥l2, 求a的值; (2)若l1⊥l2, 求a的值. 4、

（本题满分14分)已知点A(0,3)、 B(－1,0)、C(3,0), 求点D的坐标, 使四边形ABCD为直角梯形 (A, B, C, D按逆时针方向排列).

十、板书设计

直线的倾斜角与斜率

总结

1、

2、

3、

4、

5、

6、

练习

学生板书习题

十一、教学反思

本节课根据学生的学情和教材内容及课标，是按照层进式展开教学的，从学生已经学习的知识入口，建立起利用代数方法解决几何问题的数学思想，步步探究，层层递进，

有易到难，逐渐掌握知识，学生学习的轻松，知识掌握好。最后作业中的四个题环环相扣，是对本节知识的进一步检测。