1.1.2 四种命题优秀教案案例

第一章 常用逻辑用语

1.1.2 四种命题

知识与技能

1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

2．四种命题之间的相互关系。

3．理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系。

4．用逻辑用语准确地表达数学内容。

过程与方法

通过实例说明四种命题形式的客观存在，使学生体会研究四种命题形式的必要性，采用启发式教学使学生明白四种命题的关系。

情感、态度与价值观

让学生感受用逻辑语言准确地表达数学内容的重要性，培养学生逻辑推理能力，掌握“正难则反”的数学思想。

教学重点

掌握四种命题之间的相互关系，理解互为逆否的命题同真同假的重要规律。

教学难点

在命题的四种形式中，判断其中两个命题的关系。

学习目标

四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题.

基础梳理

1.原命题与逆命题

（1）关系是：_____与_____互换；

（2）结构形式是：若原命题为“若p，则q”，则逆命题为_____________；

（3）结论：这两个命题叫做_________. 2.原命题与否命题

（1）关系：条件与结论都要_____；

（2）结构形式：若原命题为“若p,则q”，则否命题为_______ ________；

（3）结论：这两个命题叫做_________. 3.原命题与逆否命题

（1）关系是：条件与结论既要_____，又要_____；

（2）结构形式是：若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为

________________；

（3）结论：这两个命题叫做_____________. 思考运用

1.四种命题中原命题是确定的吗？

提示：不是.四种命题中任何一个命题均可以作为原命题. 2.“互为逆否命题”与“逆否命题”相同吗？

提示：两者不相同.互为逆否命题是两个命题之间的关系，具有双向性.逆否命题是一个相对概念，是一个命题，只具有单向性. 3.“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________. 【解析】由逆命题的概念知命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.

答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”

4.命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是_________．

【解析】命题“若x>y，则x3>y3－1”的条件是x>y，其否定为x≤y；命题的结论是x3>y3－1，其否定为x3≤y3－1.所以命题的否命题是“若x≤y，则x3≤y3－1”. 答案：“若x≤y，则x3≤y3－1”

知识点拨

1.四种命题的理解

（1）互逆命题是“换位不换质”，即原命题的条件和结论变为逆命题的结论和条件. （2）互否命题是“换质不换位”，

即原命题的条件和结论的否定成为否命题的条件和结论. （3）互为逆否命题是“既换位又换质”，

即原命题的条件和结论的否定变为逆否命题的结论和条件. 2.关于命题的条件及结论的否定

在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或者重复，如“a>b”的否定是“a≤b”，而不是“a

【技法点拨】

1.逆命题的写法

给出一个命题，将它作为原命题并交换其条件和结论，即得原命题的逆命题. 2.写原命题的否命题的步骤

（1）找出原命题的条件和结论；

（2）对原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论；

（3）所得命题即为原命题的否命题. 3.逆否命题的两种写法

（1）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题. （2）先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题. 【典例训练】

1. 设a,b是向量，命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( ) (A)若a≠-b,则|a|≠|b| (B)若a=-b,则|a|≠|b| (C)若|a|≠|b|,则a≠-b (D)若|a|=|b|,则a=-b 2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( ) (A)若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

(B)若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

(C)若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

(D)若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

【解析】1.选D.原命题的条件是a=-b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|=|b|,作为逆命题的条件，即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”，故选D. 2.选B．原命题的条件的否定是f(x)不是奇函数，原命题的结论的否定是f(－x)不是奇函数，即得否命题“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”. 【思考】（1）解答1题的关键点是什么？

（2）解答2题的注意点. 提示：(1)解答1题的关键点是对逆命题概念的正确理解，即互换条件与结论的位置. (2)解答2题的注意点是对原命题的条件和结论同时否定. 【变式训练】

1．“若x>y，则x2>y2”的逆否命题是( ) (A)若x≤y，则x2≤y2 (B)若x>y，则x2

2．命题“若a>0，则 ”的逆命题为( ) (A)若a≤0，则 (B)若 ，则a>0 (C)若 ，则a≤0 (D)若 ，则a>0 【解析】选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调所得的命题．

题目类型二、“若p，则ｑ”形式的另外三种命题的真假判断

【技法点拨】

命题条件和结论不明显的四种命题真假判断的方法

（1）将所给的命题改写为“若ｐ，则ｑ”；

（2）根据另外三种命题的结构，分别写出它们的命题；

（3）通过推理判断命题的真假，若为假命题只需举一个反例说明即可. 【典例训练】

1.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆命题是__________；否命题是__________；逆否命题是___________．

2.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．

(1)菱形的对角线互相垂直；

(2)等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．

【解析】1.首先将原命题改写如下：“若一个正整数的各位数字之和是3的倍数，则这个正整数可以被3整除”，然后由逆命题、否命题、逆否命题的定义得：

逆命题是“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”；

否命题是“各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除”；

逆否命题是“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”. 答案：“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”“各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除”“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”

2.(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．

否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．

逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．

否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．

(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．

逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．

【互动探究】若将第1题的条件改为“各位数字之和是6的倍数的正整数”，而结论不变，试写出另外三种命题形式. 【解析】逆命题是“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是6的倍数”. 否命题是“各位数字之和不是6的倍数的正整数，不能被3整除”. 逆否命题是“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是6的倍数”. 【思考】在题1中用到了哪些判断词，其对应的否定词是什么？解答题2的注意点是什么？

提示：（1）在本题1中用到的判断词有“是”“可以”，其对应的否定词是“不是”“不可以（或不能）”. （2）解答本题2首先要分清原命题的条件与结论，然后写出其他三种命题. 【变式训练】把命题：“矩形的对角线相等”改写成“若p,则q”的形式，并分别写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假．

【解析】原命题：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等（真命题）．

逆命题：若一个四边形的对角线相等，则它是矩形（假命题）．

否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等（假命题）．

逆否命题：若一个四边形的对角线不相等，则它不是矩形（真命题）

题目类型三、抽象命题的另外三种命题形式的判断

【技法点拨】

抽象命题的另外三种命题形式的判断的方法

这类问题的解决方法是抽象命题用“若ｐ，则ｑ”的形式表示出来，然后由互逆命题、互否命题、互为逆否命题的概念进行判断. 【典例训练】

1.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是p的逆命题t的( ) (A)逆否命题 (B)否命题

(C)逆命题 (D)原命题

2．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的( ) (A)逆命题 (B)逆否命题

(C)否命题 (D)以上判断都不对

【解析】1.选B. 若命题p：“若x，则y”，

则命题p的否命题r为“若 x，则 y”；

命题r的逆命题s为“若 y，则 x”；又p的逆命题t为“若y，则x”，所以s是p的逆命题t的否命题. 2.选B.命题p：“若x，则y”，其逆命题q：“若y，则x”，那么命题q的否命题r：“若 y，则 x”，所以p是r的逆否命题，所以选B. 【易错误区】对否命题理解不到位而产生错误

【典例】已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) (A)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 (B)若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 (C)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

(D)若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 【解题指导】

【即时训练】命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1 (D)若x≥1或x≤－1，则x2≥1 【解析】选A．因为x2<1，－1

1.命题“若a∈A，则b∈B”的否命题是( ) (A)若a∈A，则b∈B (B)若a∈A，则b∈B (C)若b∈B，则a∈A (D)若b∈B，则a∈A 【解析】选B．因为a∈A的否定是a∈A, b∈B的否定是b∈B,所以原命题的否命题是“若a∈A，则b∈B”. 2.命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________. 【解析】因为原命题的条件是a>1，结论是a>0，所以条件及结论的否定分别是a≤1,a≤0.所以逆命题是“若a>0，则a>1”，

逆否命题是“若a≤0，则a≤1”. 答案：“若a>0，则a>1” “若a≤0，则a≤1”

3.命题“等比数列{an}中没有零项”的逆命题是________. 【解析】根据逆命题的概念知命题“等比数列{an}中没有零项”的逆命题是：“若数列{an}中没有零项，则数列{an}为等比数列”. 答案：“若数列{an}中没有零项，则数列{an}为等比数列”

4.命题“若一元二次方程没有实根，则判别式小于零”的逆否命题是____________．

【解析】根据逆否命题的概念得命题的逆否命题是“若一元二次方程的判别式大于等于零，则一元二次方程有实根”. 答案：“若一元二次方程的判别式大于等于零，则一元二次方程有实根”

5.写出下列原命题的其他三种命题：

(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；

(2)正偶数不是素数．

【解析】(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b；

否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B；

逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b．

(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数；

否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数；

逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数．

课堂小结

1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；

(3)按照四种命题的结构写出所有命题. 2.每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论.

课后作业

课堂讲义配套作业1.1，2