3.3.4 两条平行直线间的距离教案和学案内容

§3.3.4 两条平行线间的距离

【课标定向】

学习目标

两条直线间的距离公式

提示与建议

理解点到直线的距离和两条直线间的距离的概念，记住点到直线的距离公式，会用它求点到直线的距离和两条直线间的距离。

当A=0时，L：By6+C=0,d=|y0+当B=0时，L:Ax+c=0,d=|x0+C|; BC| B例题1 求过点P（1 , 2 ) ，且与点A ( 2 , 3 ) , B ( 4 ，一5 ) 距离相等的直线L 的力程

【互动探究】

自主探究

1.点P(x0,y0)到直线l : Ax + By = O 的距离本质上是点与直线l 上任一点M (x,y)距离的_____ 2. 点P(x0,y0)到直线l : Ax + By+c=0 的距离公式为d = ______ 3. 两条平行直线l , : Ax + By+C2=0, L : : Ax + By+C2=0的距离d =_____. 剖例探法

★讲解点一点到直线的距离

1. 点P到直线L: Ax + By+c=0 的距离本质上是点与直线L上任一点M (X,Y)连线长度的最小值，可列出距离公式用求最值的力法求出. 2. 从几何特征上看，点P到直线L的距离是点P与过点尸且垂直于L 的直线与L的交点Q（也称Q为P在直线L 的射影）两点间的距离’

3. 过点P作平行于坐标轴的两条直线，与直线Z 围成直角三角形，利用三角形面积两种求法结果相等列力程可求得点到直线的距离公式为：

d|Ax0By0c|A2B2

说明：

( l ）使用点到直线的距离公式的前提：直线力程为一般式. ( 2 ）点P到，轴的距离|y0|，到了y轴的距离|x0|; 【思维切入】

设出过点P的直线力程，利用点到直线的距离公式求解或由平面几何知识知L//AB过中点均可以

【解析】

法一：由题意知，L 的斜率存在设为K则l 的方程为y一2 ＝k(x-1) ，即kx-y＋2 - k＝O 由已知得

|2k32k||4k52k|1k21k2

解得k=-4或k=-32

∴直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0 法二：①若A,B两点位于L的同侧，则L//AB ∴直线l的斜率k=k53AB424

又直线L过点P（1,2），所以直线AB中点M（3，-1）

又直线l过点P（1,2），所以直线L方程为y-2=-4(x-1),即4x+y-6=0 ②若A、B两点位于l的异侧，l过AB中点m(3,-1)

又直线L过点p（1,2），所以直线L方程为y1x32113，即3x+2y-7=0 综上可知，直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0. 【规律技巧总结】

法一采用“待定系数法”是解此类题的通法；法二数形结合，分类时须做到不重不漏

★

讲解点二 两条平行直线间的距离

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行线间的公垂线段的长. 两条平行直线l1: Ax + By+c = O ,

lc2|2 :Ax+By+C2=0的距离d|c1A2B2

注意：( l ）适用前提：两直线的形式必须满足两个条件：①方程为一般方程，②方程中x,y的系数分别相等

( 2 ）两条平行直线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，具体求两条平行直线间的距离时，只需在一条直线上取一特殊点，再求他到另一直线的距离。

例题2 已知直线Z 经过点A ( 2 , 4 ) ，且被平行直线l1：x-y+1=0 ，l2:x-y-1=0 所截得的线段的中点M 在直线，x+y-3=0 上，求直线l的方程

【思维切入】

确定一条直线需要两个独立条件已知过一点A ( 2 , 4 ) ，只需求另外一点或斜率即可

【解析】法一：∵M 在直线，x+y3 = O 上，

∴设点M 的坐标为（t , 3 一t），则M 到两平行线距离相等，

∴|t(3t)1||t(3t)1|22

∴l3：x-y=0 由题意得点M在l3上，又在x+y-3=0上，

∴xy0y30

x解得点M的坐标为（32,32）

同上得5x-y-6=0 法三：由题意直线l的斜率存在设为K 则直线L方程为y-4=k(x-2) 由y4k(x2)x2k3xy10得k13k4

yk1由y4k(x2)x2k5得xy10k1

yk4k1∴直线l与l1，l2的交点分别为（2k3k1，3k42k1），（k5k1，k4k1）

∵点M为中点，

∴点M的坐标为（2k42kk1，4k1）

又∵点M在x+y-3=0上，

∴2k42k1+k4k1-3=0，解得K=5 ∴直线l的方程为y-4=5(x-2)，即5x-y-6=0 【规律技巧总结】

法一利用点到直线的距离公式求中点M ；法二利用平行直线间的距离公式求点M ；法三利用“待定系数法”求斜率，虽然思路自然，但运算较繁解题时要注意数形结合，选择最佳解题思路. 精彩反思

1．

求点到直线的距离时，应先将直线力程化成一般式，并要注意公式的分子中含有绝对值

2．

点到直线的距离公式，反映点的坐标，直线力程系数，与点到直线的距离之间的关系，可用它来求点到直线的距离，也可用来求点的坐标或求直线力程的系数。

3. 求两条平行线间的距离可以转化为一条直线上任一点到另一条直线的距离；也可以使用公式d = |c1c2|A2B2，注意直线力程必须为一般式且x，y的系数分别相等时才能使用该公式。

【自我测评】

1.X轴上一点A ( a , 0 ）到一，三象限的角平分线的距离是（ ) A.2|a| B.|a|2

C. 2|a|

D. |a| 2. 两平行线y=kx+b1，与y=kx+b2：之间的距离是( ) A. b1-b2

B. |b1b2|1k2

C.| b1-b2| D. b2-b1

3.已知点（a，2）（a>0）到直线l: x-y+3=0 的距离是1 ，则a = ______ 4. ( 2010 年·

山东潍坊高考模拟）过原点且和A ( o , 1 ) , B ( 2 , 0 ）两点的距离相等的直线Z 的力程是_______ 5. 过A ( 2 , 0 ）和B ( O ，一3 ）作两条直线，使它们之间的距离为3 ，求这两条直线的方程. 【拓展迁移】

思维提升

6 .( 2009 年·

全国卷I ·

文16 题）若直线m 被两平行线l1：x-y+1=0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是

① 15°②30°③45°④60°⑤75°

其中正确答案的序号是

（写出所有正确答案的序号）

视野拓展

希帕蒂亚

希帕蒂亚（公元370 一415 ）诞生在数学的故乡―

古希腊，10 岁左右，她已懂得了如何利用金字塔的影长去测量其高度17 岁时，她参加了芝诺悖论的辩论，一针见血地指出芝诺的错误所在，这次辩论，是希帕蒂亚名声大振20 岁以前，她JL 乎读完了当时所有数学家的名著，希帕蒂亚同父亲一起，搜集了各种版本的《几何原本》

，认真修订、润色、加工及其大量评注，一个新的《

几何原本》

问世了成为当今各种文字的《

几何原本》

的始祖独立写了《

丢番图（算术）评注》

，评注了阿波罗尼斯的《圆锥曲线轮》

分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，按各种不同的情况子以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时力式多样，其有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、力法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分门别类，不重复、不遗漏地分析讨论”应用分类讨论思想力法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学性，既不重复，又不遗漏如何实施行了正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类力法，再逐项进行讨论，最后进行归纳总结

常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等分类讨论思想力法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。