探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积ppt配套的板书设计及意图

探究祖暅原理

为使学生受到优秀数学传统文化的熏陶首先介绍了一下提出祖暅原理的历史人物；接下来对祖暅原理做了细致的分析，让学生理解其具体含义并注意应用时需要注意的方面；最后利用祖暅原理结合三维动画层层引导、分析、推导出柱体、锥体、球体的体积公式。

教学目标

1. 理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的过程；

2. 在推导柱体、锥体体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握柱体、锥体、球体的体积公式；

3. 通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣. 重点：理解祖暅原理和柱体、椎体、球体体积公式的推导过程。

难点：球体的体积公式推导及准确把握相关几何体体积之间的关系。

教学过程

1. 介绍提出祖暅原理的历史人物祖冲之父子。

2. 细致分析祖暅原理，并强调应用时的细节。

3. 应用祖暅原理推导柱体、椎体的体积公式

4. 观看视频：应用祖暅原理推到球体的体积公式

5. 祖暅原理未能得到西方认可的原因

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教学过程

一、引入

取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？

这堆书的几何形状发生了改变，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等。

其实这里蕴含了一个很重要的数学原理—祖暅原理。今天我们就来学习什么是祖暅原理以及它的应用。首先我们要认识我国历史上两位很重要的数学家。

二、祖冲之父子介绍

祖冲之（429-500），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。

祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。

祖暅，字景烁，是我国南北朝时代南朝的数学家、科学家祖冲之的儿子。

受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小就热爱科学，对数学具有特别浓厚的兴趣，祖冲之在462年编制《大明历》就是在祖暅三次建议的基础上完成的。《缀术》一书经学者们考证，有些条目就是祖暅所作。祖暅终生读书专心致志，即使有雷霆之声，他也听不到。祖暅原理是关于球体体积的计算方法，这是祖暅一生最有代表性的发现。

三、祖暅原理

为了求一般柱体、锥体的体积，我们简要介绍一下祖暅（gèng）原理. 祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理——

祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积. 意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等. 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 如图1，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等. 利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积. 2

四、柱体的体积

那么如何用祖暅原理推导柱体的体积公式呢？

设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使他们的下底面在同一平面内（图3）. 根据祖暅原理，可知它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积乘以高，于是我们得到柱体的体积公式

V柱体Sh

其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.

五、锥体的体积

那么锥体的体积公式该如何推导？

设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体（例如一个棱锥和一个圆锥），使它们的地面在同一个平面内（图4）.根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等.这就是说，等底面积等高的两个锥体的体积相等. 如图5，设三棱柱ABCABC的底面积（即ABC的面积）为S，高（即点A到平面ABC的距离）为h，则它的体积为Sh.沿平面ABC和平面ABC，将这个三棱柱分割成3个三棱锥.其中三棱锥1、2的底面积相等（SAABSABB），高也相等（点C到平面ABBA的距离）；三棱锥2、3也有相等的底面积（SBBCSBCC）和相等的高（点A到平面BCCB的距离）.因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是Sh. 13三棱锥AABC（即三棱锥1）如果以ABC为底，那么它的底面积是S，高是h，而它的体积是Sh.这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一. 事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为S，高为h，那么它的体积应等于一个底面积为S，高为h的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为V锥体=131Sh

3这就是锥体的体积公式. 柱体和锥体是两种基本几何体，它们的体积公式有着广泛的应用.

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六、球体的体积

先来研究半球（半径为R）的体积计算.为了应用祖暅原理，我们需要找到一个能够求体积的，使它和半球高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体. 如图6（1），设平行于大圆且与大圆的距离为h的平面截半球所得圆面的半径为r，rR2r2，于是截面面积S1πr2π(R2l2)πR2πl2.S1可以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为h的同心圆，所得圆环的面积. 为此，我们取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上（图6（2））. 用任一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面.有上述可知：

圆环大圆半径为R，小圆半径为h，面积S2πR2πl2π(R2l2).所以，S1S2.根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.即V球πR2R11224πRRπR3所以球的体积

V球πR3

2333根据祖暅原理求几何体的体积，关键是找出一个满足条件的能够求出体积的几何体. 七、祖暅原理未能得到西方的认可

祖暅原理的提出，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述结论.在西方，意大利数学家卡瓦列里在1635年出版的《连续不可分几何》一书中，提出了等积原理，所以西方人称之为“卡瓦列里原理”.他的发现要比我国的祖暅晚1100多年.既然我国早就发现了等积原理，为什么没有为西方所知呢？

很重要的一个原因是当时的数学语言不够规范，世界上还没有一种统一的数学语言.数学文化的传播离不开数学语言的精确表达，再加上当时地域的限制，欠发达的科技水平，中西古代数学在其民族文化中的差异，导致此原理没有得到广泛的传播.也许这其中也因为这个原理当时并没有严格的证明，没有达到严格的演绎，不被西方所承认，这个原理的严格证明要用到微积分的知识,而在一千多年前微积分学还没有出现。但是有一点是肯定的，就是他当时已经具有了无限求和（即求和的极限）的思想方法了，这在当时的历史条件下是难能可贵的！可以说祖暅原理是我国古代科学文化遗产的一颗璀璨夺目的明珠。

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