3.2.2 直线的两点式方程国家优质课一等奖

课题：直线的两点式方程

教学设计

湖南省宁远县第二中学

李和平

【教学目标】

1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围；

3．认识事物之间的普遍联系与相互转化.

【重点】直线的两点式方程.

【难点】两点式推导过程的理解.

一、知识回顾

我们知道，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线.上节课，经过一点且已知斜率的直线，我们可以求出它的点斜式方程. 复习1：经过点学生回答：

且斜率为k的直线l的点斜式方程是什么？

复习2：已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程. 学生回答：

解：易得直线的斜率

得直线的点斜式方程为

整理得

二、新知探究

探究一：直线的两点式方程

思考：已知直线经过两点程. 解：当时，得直线的斜率

，

.

（其中

，，求直线的方，

任取，

中的一点，例如取

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得直线的点斜式方程为

当时，方程(1)可化为

， (1) = . (2)

方程（2）即为直线的方程.

由于这条直线的方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式.

新知1：已知直线l经过两点点式方程为

，，则直线l的两 =

问题1：哪些直线不能用两点式表示？

学生回答：

①当时，有，直线斜率不存在；

②当时，有，直线斜率为0. 所以垂直于坐标轴的直线不能用两点式表示.

问题2：若点什么？

学生回答：

①当时，有中有. ，或，此时过这两点的直线方程是，此时直线的斜率不存在，所以直线的方程为；

②当时，有，此时直线的斜率为0，所以直线的方程为

拓展：若将直线的两点式方程化为，那么它表示什么图形？

学生回答：

它表示经过平面内任意两点的直线.

探究二：直线的截距式方程

例1

如图，已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，

其中a≠0，b≠0，求直线l的方程. 直线的两点式方程·教学设计

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解：将两点的坐标代入两点式，得

，

即 . (3)

方程（3）是由直线的横、纵截距确定的，所以叫做直线的截距式方程.

新知2：分别为其中

，的直线的截距式方程为

.

注意：直线与x轴交点（a,0）的横坐标a叫做直线的

横截距

；直线与y轴交点（0,b）的纵坐标b叫做直线的

纵截距

.

三、例题精析

引例

已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程. 解：将两点的坐标代入两点式，得

，

整理得

.

例1

如图，已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，

其中a≠0，b≠0，求直线l的方程. （见探究二）

例2

已知直线l经过两点A(2,0)，B(0,-3)，求直线l的方程，并画出图形及

求直线l与两坐标轴所围成图形的面积S和周长L. 解：易得直线分别为3，

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所以直线的截距式方程为

.

直线的图形如右图所示：

所以

，

四、学生展示

练习1

求过下列两点的直线的方程：

（1）(-2，3)，(2，-3)；

（2）(-2，3)，(-2，-3)；

（3）(-2，3)，(2，3). 注：投影仪展示并点评.

五、总结提升

直线方程的各种形式总结为如下表，试完成表格：

直线名称

点斜式

方程

方程中常数的几何意义

直线的一定点，是直线的斜率. 斜截式

是直线的斜率，是直线的纵截距. 斜率存在的直线. 斜率存在且不为零的直线. 不过原点，斜率存在且不为零的直线. 方程适用于

斜率存在的直线. 两点式

=

直线的两定点. 截距式

分别是直线的非零

横、纵截距. 六、布置作业

1.作业本：教材97页，1，3 2.课时作业：完成156页，1~7

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七、教学反思

直线的两点式方程是平面解析几何直线理论的重要内容，前面我们学习了直线的点斜式方程和斜截式方程，这节课利用直线的点斜式方程导出了直线的两点式方程，体现了数学学科重逻辑推理的基本核心素养，所以说直线的点斜式方程是基础，是我们学习直线的方程的出发点。直线的两点式方程有其存在的意义，这使我们从代数的角度理解了两点确定一条直线。教学过程中应该注重培养学生推理的能力，多设问，多引导，多启发。

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