3.2.2 直线的两点式方程第二课时教案

《直线的两点式方程》教案

一、教学目标

1.知识与技能

掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围，能根据两点求直线的点斜式方程。

2.过程与方法

通过应用直线的点斜式方程的探究过程中获得两点式方程，增强比较、分析、应用的能力。

3.情感态度与价值观

通过学习直线的两点式方程的特征和适用范围，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。

二、教学重难点

重点：直线的两点式方程。

难点：两点式方程推导过程的理解。

三、教学过程

1.复习巩固

1)直线的点斜式方程：

y- y0 =k(x- x0

) k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 2)直线的斜截式方程：

y=kx+b

1

k为斜率，b为y轴上的截距

思考1:由一个点和斜率可以确定一条直线，还有别的条件可以确定一条直线吗？

思考2:设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则直线l的斜率是什么？结合点斜式直线l的方程如何？

2.讲授新课

例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程

一般做法：

解：设直线方程为：y=kx+b 由已知得：3kb42kb待定系数法

解方程组得：k1b2

所以:直线方程为: y=x+2 还有其他做法吗？

解：由斜率公式得 K=1 再由直线的点斜式方程

y-3=x-1 2

化简可得x-y+2=0 所以

直线方程为x-y+2=0 3.推广

设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程． 解：

当x1x2时，所求直线的斜率为ky2y1x2x1任取P1,P2中的一点，例如，取P（1x1,x2）由点斜式方程得yy1y2y1（xx1）x2x1当y2y1时，可写为yy1xx1y2y1x2x1解：设点P(x , y)是直线上不同于P1 ,

P2的点．

∵

kPP1= kP1P2

kpp1yy1xx1kp1p2y1y2x1x2即yy1y1y2xx1x1x2可得直线的方程为：

yy1xx1y2y1x2x1经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2， y1≠y2，的直线方程为yy1xx1y2y1x2x1 我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。 3

记忆特点：

1.左边全为y，右边全为x

2.两边的分母全为常数 3.分子，分母中的减数相同

思考1.是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 yy1xx1y2y1x2x1

写出直线方程呢？

不是! 思考2.当x1 ＝x2或y1=

y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因为x1 ＝x2或y1=

y2时,两点式的分母为零,没有意义)

那么哪些直线的方程不能用两点式表示呢? 注意：平行于坐标轴或与坐

标轴重合的直线的方程不能用两点式表示。 若点P1 (x1 ,

y1

),P2(

x2 ,

y2)中有x1 ＝x2,或y1=

y2,此时过这两点的直线方程是什么?

当x1 ＝x2

时方程为：

x

＝x１

当

y1=

y2时方程为：

y =

y１

练习

求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程. 4

(1)P(2，1)，Q(0，-3) y1x2

3102y2x3(2)A(0，5)，B(5，0) 

0550y5x0yx5(3)C(-4，-5)，D(0，0)

y050x040y5x4例2:已知直线

l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l

的方程．

解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:

y0xa,b00a即：xy1.ab

xayb1.所以直线l的方程为：截距式直线方程:

xy1.ab

直线与

x 轴的交点(a, o)的横坐标

a 叫做直线在

x 轴上的截距

直线与

y 轴的交点(0, b)的纵坐标

b 叫做直线在

y 轴上的截距

是不是任意一条直线都有其截距式方程呢? 5

注意：

①能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线

②截距可以是正数,负数和零

1.根据下列条件求直线的方程

（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；

由截距式得：xy123整理得3x2y60

（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6 由截距式得：xy156整理得6x5y300

2.根据下列条件求直线的方程

（1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2；

解：∵直线在y轴上的截距为5，且在两坐标轴上的截距之和为2 ∴a+5=2 ∴a=-3 xy1

∴直线方程为 35

即直线方程为5x-3y+15=0 (2)求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

解（1）当截距不为0时，设直线方程为

xy1ab

541ab则

ab解得： a=b= -1 xy1所以直线方程为：

116

即

xy10（2）当截距为0时，设直线方程为 y=kx, 则

5k4k45y 4所以直线方程为：5x综上，所求直线方程为

xy10或

y45x3.已知三角形的三个顶点是A(－5，0)，B(3，－3)， C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程. 中点坐标公式：

若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x, y). 则xx1x22y1y2y2

∵B(3,-3),C(0,2) ∴ M 即M (3032,)2231,)22(

解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为

y2x03230整理得：5x+3y-6=0 ∴BC边所在直线的方程为 :5x+3y-6=0

BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：

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x1x2y1y2x,y22即 13M,22132,2

y0102x5352过A(-5,0),M

的直线方程

整理得：x+13y+5=0 ∴BC边上中线所在的直线的方程x+13y+5=0 五、思考

(1) 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗？

(2) 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗？

六、小结

（1）直线的两点式方程：

（2）直线的截距式方程：

（3）中点坐标：

七、作业布置

P97练习：1，2，3.（做书上）

P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.

xx1x22y1y2y2yy1y2y1xx1x2x1

xy1.ab

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