信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆PPT及专用教学设计内容

课题：椭圆及其标准方程

一、教学目标

学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推

导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

二、教学重点、难点

（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。

（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

三、教学过程

（一）创设情境，引入概念

1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。

2、实验演示。

思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？

（二）实验探究，形成概念

1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。

实验探究：

保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？

思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

2、概括椭圆定义

引导学生概括椭圆定义

M

F1F2

椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

思考：焦点为F1,F2的椭圆上任一点M，有什么性质？

令椭圆上任一点M，则有MF1MF22a(2a2cF1F2)

（三）研讨探究，推导方程

1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？

2、研讨探究

问题：如图已知焦点为F1,F2的椭圆，且F1F2=2c,对椭圆上任一点M，有

MF1MF22a，尝试推导椭圆的方程。

M F1

F2

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？

将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

方案一

方案二

y

y

F2M

O x O x

F1F2

M

F1

按方案一建立坐标系，师生研讨探究得到椭圆标准方程

x2y2+2=1（ab0），其中b2 = a2－c2 ( b > 0 )；

2aby2x2选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出2+2=1，同ba样也有a2－c2 = b2 ( b > 0 )。

x2y2y2x2教师指出：我们所得的两个方程2+2=1和2+2=1（ab0）都是椭abba圆的标准方程。

（四）归纳概括，方程特征

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：b2a2c2(ab0)；

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；

（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a,b的值。

2、在归纳总结的基础上，填下表

标准方程

x2y2+=1(ab0)

a2b2y2x2+=1(ab0)

a2b2y F2M

x O F1

图形

y M F1

O F2

x

a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置

b2a2c2

(c,0)

b2a2c2

(0,c)

在x轴上

在y轴上

（五）例题研讨，变式精析

[例1].判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距以及a,b的值（口答）

x2y2x2y2①221 ②21 ③

3x24y21

2434(3)[例2].已知椭圆两个焦点的坐标分别为(2,0),(2,0)，并且经过点(,)；求它的标准方程.

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（六）变式训练，探索创新

【课外拓展练习】

1.如图，圆Ｏ的半径为定长r，A是圆Ｏ内的一定点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆周上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

2.已知B、C是两个定点，|BC|=6，ABC的周长为16.问点A的轨迹是什么曲线？你能写出它的方程吗？

PQOAl（七）小结归纳，提高认识

师生共同归纳本节所学内容、知识规律以及所学的数学思想和方法。

（八）作业训练，巩固提高

1.P46 习题2.1A组第 1 题，第2题第①小题.