3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则名师教学设计

3.2 导数的计算

基本初等函数的导数

[提出问题] 已知函数：

(1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x，

12(3)y＝f(x)＝x，(4)y＝f(x)＝，

x(5)y＝f(x)＝x. 问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？

Δyf提示：∵＝Δxx＋Δx－fxc－c＝＝0，

ΔxΔxlim

Δy＝0. ∴y′＝Δx→0Δx问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？

提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x)′＝2x，

21′＝－1，(x)′＝1 . xx22x问题3：函数(2)(3)(5)均可表示为y＝x(α∈Q)的形式，其导数有何规律？

提示：∵(x)′＝1·x∴(x)′＝αx

[导入新知] 基本初等函数的导数公式

原函数

①f(x)＝c ②f(x)＝x(α∈Q)

③f(x)＝sin x ④f(x)＝cos x ⑤f(x)＝a

⑥f(x)＝e

xxα*αα－11－1α*，(x)′＝2·x22－1-1111，(x)′＝(x)′＝x2＝，

22x12. 导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1

f′(x)＝cos_x

f′(x)＝－sin_x

f′(x)＝axln__a(a＞0) f′(x)＝ex

⑦f(x)＝logax ⑧f(x)＝ln x

[化解疑难] 理解公式时要注意的五点：

f′(x)＝(a＞0，且a≠1)

xln af′(x)＝

x11(1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立；

(2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；

(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围；

(4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例；

(5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确．

导数的运算法则

[提出问题] 1已知f(x)＝x，g(x)＝. x问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？

1提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－2. x11问题2：试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．

xx提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋＝Δx＋∴－Δx，

xx＋Δx11－x＋

x＋ΔxxΔy＝1－Δxx1，

x＋Δx1＝1－1. x＋Δxx2lim

Δy＝lim

∴Q′(x)＝Δ1－x→0ΔxΔx→0x1同理H′(x)＝1＋2. x问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？

提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．

问题4：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？

1′提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]＝0，而f′(x)·g′(x)＝1×－2＝x1－2. x[导入新知] 导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fx′＝fgxxgx－fxg2[gxx(g(x)≠0)；

(4)[cf(x)]′＝cf′(x)．

[化解疑难] 导数的运算法则的认识

1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fx′＝fgxgx. x2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．

3．(1)[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；

(2)[cf(x)]′＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．

利用导数公式求函数的导数

[例1] 求下列函数的导数：

1π20(1)y＝x；(2)y＝4；(3)y＝sin；

x3(4)y＝log6x；(5)y＝5201 . x220－1[解] (1)y′＝(x)′＝20x(2)y′＝(x)′＝－4x－4－4－1＝20x. －519＝－4x. 3π(3)y′＝sin′＝′＝0. 32

(4)y′＝(log6x)′＝1. xln 6122-125275(5)y′＝5′＝(x)′＝－x＝－x5. x255[类题通法] 求简单函数的导函数有两种基本方法

(1)用导数的定义求导，运算比较繁杂．

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．

[活学活用] 求下列函数的导数：

(1)y＝x；(2)y＝log7x；(3)y＝x解：(1)y′＝(x)′＝6x. (2)y′＝(log7x)′＝(3)y′＝(x

求导公式及导数运算法则

[例2] 求下列函数的导数：

(1)y＝x－3x－5x＋6；

(2)y＝(2x＋3)(3x－2)；

(3)y＝253226562x. 1. xln 7253x)′＝(x·x)′＝(x)′＝x2. 21252x－1；

x＋13(4)y＝x·e；

(5)y＝x＋log3x. [解] (1)y′＝(x－3x－5x＋6)′

＝(x)′－(3x)′－(5x)′＋6′

＝5x－9x－10x. (2)法一：y′＝(2x＋3)′(3x－2)＋(2x＋3)(3x－2)′

＝4x(3x－2)＋(2x＋3)·3

＝18x－8x＋9. 法二：∵y＝(2x＋3)(3x－2)＝6x－4x＋9x－6，

∴y′＝18x－8x＋9. 22322222425325322x

(3)法一：y′＝＝＝x－1′

x＋1x＋1′

x－1′x＋1－x－1x＋12x＋1－x－12＝2x＋1x＋12. 法二：∵y＝∴y′＝1－2′＝－x－1x＋1－22＝＝1－，

x＋1x＋1x＋122′＝－′

x＋1x＋12x＋1－2x＋1′2＝2x＋1x＋13. (4)y′＝(x)′e＋x(e)′＝3xe＋xe

＝x(3＋x)e. (5)y′＝(x＋log3x)′＝(x)′＋(log3x)′

＝2x＋1. xln 3222x3x2x3xx[类题通法] 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．

[活学活用] 求下列函数的导数：

cos x211(1)y＝xx＋＋3；(2)y＝；

xxxx(3)y＝3e－2＋e. 12113解：(1)因为y＝xx＋＋3＝x＋1＋2，

xxxxx22所以y′＝3x－3. x(2)y′＝＝＝cos x′

xx2

cos x′·x－cos x·x′－x·sin x－cos x

2x＝－xsin x＋cos x. x2

(3)y′＝(3e)′－(2)′＋(e)′

＝(3)′e＋3(e)′－(2)′

＝3ln 3·e＋3e－2ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)－2ln 2.

求曲线的切线方程

[例3] (1)曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程是________．

π(2)若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，则实数2xxxxxxxxxxxxxxxxa＝________. [解] (1)∵y＝sin x＋e，

∴y′＝cos x＋e，

∴y′|x＝0

＝cos 0＋e＝2，

0xx∴曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. (2)因为f′(x)＝sin x＋xcos x，

ππππ所以f′＝sin＋cos＝1. 2222又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，

2所以根据题意得1×－＝－1，解得a＝2. 2答案：(1)2x－y＋1＝0 (2)2 [类题通法] 根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．

[活学活用] 求曲线y＝解：∵y＝∴y′＝2x4在点2，处的切线方程．

x＋152xaa2x，

x2＋1x2＋－2x·2x2－2x＝222＋x＋x222，

∴y′|x＝2＝2－8＋6＝－. 25

因此曲线y＝2x2，4处的切线方程为y－4＝－6(x－2)，在点即6x＋25y－32＝0. 5x2＋1525

4.求曲线的切线方程

[典例] (12分)已知函数f(x)＝x＋x－16，直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

[解题流程] 3

[随堂即时演练] 1．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为(

) A．y＝2x＋2

C．y＝x－1 解析：选C ∵y＝xln x，

∴y′＝ln x＋1，

故切线斜率为k＝y′|x＝1＝1. ∴切线方程为y＝x－1. 2．函数y＝B．y＝2x－2 D．y＝x＋1 x2x＋3的导数是(

) x2＋6xA. x＋2x2＋6xB.

x＋3

C.－2xx＋2 23x＋6xD.

x＋22x′

解析：选A y′＝x＋3＝＝2xx2x＋x＋x＋－x2－xx＋222x＋

x2＋6x＝. x＋323．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．

解析：y′＝3ln x＋4，则曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，故切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案：y＝4x－3 x＋1π4．已知函数f(x)＝，则f′＝________. sin x2解析：f′(x)＝＝sin x－x＋xx－x＋2sinx，

x

x＋2sinxπππsin－＋1cos222π则f′＝＝1. 22πsin2答案：1

5．已知抛物线f(x)＝ax＋bx－7经过点(1,1)，且在点(1,1)处的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．

解：因为抛物线f(x)＝ax＋bx－7经过点(1,1)，

所以1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0. 又在点(1,1)处的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，其斜率为4，f′(x)＝2ax＋b，

所以f′(1)＝4，

即2a＋b－4＝0. a＋b－8＝0，解方程组2a＋b－4＝0，a＝－4，得b＝12.22

[课时达标检测] 一、选择题

1．给出下列结论：

ππ①(cos x)′＝sin x；②sin′＝cos；

6611－1③若y＝2，则y′＝－；④′＝ . xxx2xx1

其中正确的个数是(

) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B (cos x)′＝－sin x，所以①错误；

π11sin＝，而′＝0，所以②错误；

622212′＝0－xxx4＝－2x－34＝－2x，所以③错误；

x0－－1′＝－xx12x11x－22131＝＝x－＝，所以④正确．

x222xx12．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(

) 421A．3 B．2 C．1 D.

2x2x3解析：选A 因为y′＝－，

2xx31所以由导数的几何意义可知，－＝，

2x2解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．

3．对任意的x，有f′(x)＝4x，f(1)＝－1，则此函数解析式为(

) A．f(x)＝x B．f(x)＝x－2 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1 解析：选B 由f′(x)＝4x知，f(x)中含有x项，然后将x＝1代入选项中验证可得．

4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax＋3相切，则a的值为(

) A．1 B．±1 C．－1 D．－2 解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax0＋3，所以3x0＋1＝ax0＋3.①

对y＝ax＋3求导得y′＝3ax，

则3ax0＝3，ax0＝1.②

由①②可得x0＝1，所以a＝1.

22323333434343

5．若f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 015(x)＝(

) A．sin x B．－sin x

C．cos x D．－cos x

解析：选D 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，

f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，

f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，

f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，

f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，

因此f2 015(x)＝f3(x)＝－cos x. 二、填空题

6．若f(x)＝e(cos x＋sin x)，则f′(x)＝________. 解析：f′(x)＝＝＝－xcos x＋x sin x′

exx－sin x－e2xexx＋sin x

－2sin x－x＝－2esin x. xe－x答案：－2esin x

1x7．(陕西高考)设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，x则P的坐标为________．

1xx0解析：y′＝e，曲线y＝e在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e＝1，设P(m，n)，y＝(xx111＞0)的导数为y′＝－2(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m＞0)，因xxm为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．

答案：(1,1) 1128．已知f(x)＝x＋2f′－x，则f′－＝________. 3311解析：f′(x)＝2x＋2f′－，令x＝－，

33211则f′－＝－＋2f′－，

33312∴f′－＝. 33

2答案：

3三、解答题

9．求下列函数的导数：

(1)y＝(x＋1)(x－1)；

(2)y＝xsin x；

e＋1(3)y＝x. e－1解：(1)法一：y′＝[(x＋1)]′(x－1)＋(x＋1)(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)＝3x＋2x－1. 法二：y＝(x＋2x＋1)(x－1)＝x＋x－x－1，

232222222xy′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′＝(xsin x)′＝(x)′sin x＋x(sin x)′

＝2xsin x＋xcos x. (3)y′＝＝exx2222e＋1′－x－xxe－1－e＋1x2e－1xxxe－1′

x－＋2＝－2ex－x2.

10．设f(x)＝x＋ax＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数32a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

解：因为f(x)＝x＋ax＋bx＋1，

所以f′(x)＝3x＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b. 又f′(1)＝2a，

所以3＋2a＋b＝2a，

解得b＝－3. 令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b. 又f′(2)＝－b，

所以12＋4a＋b＝－b，

3解得a＝－. 2323所以f(x)＝x－x－3x＋1，

2232

5从而f(1)＝－. 2

3又f′(1)＝2×－＝－3，

25所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－－＝－3(x－1)，

2即6x＋2y－1＝0.