1.1.3 四种命题间的相互关系优秀完整教案

1.1.2四种命题及其相互关系

单位：许昌市建安区第三高级中学 教师姓名：董小彩 一、学情分析：

学生初中阶段已经接触过命题,但不够系统和详细,教学时要通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣.多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力. 二、学习目标：

1、认识四种命题之间的相互关系及真假关系

2、会利用命题真假的等价性解决简单问题

三、学习重点：

会写四种命题并会判断命题的真假；四种命题之间的相互关系．

四、学习难点：

1分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．

2利用命题的真假的等价性解决简单问题。

五、教学过程

活动一：复习回顾、引入课题 请同学们回顾上一节课学习过的内容：

1、什么叫命题？

2、命题的常用表示形式是什么？

问题1 观察下列四个命题：

1

(1)若两个角是对顶角，则它们相等；

(2)若两个角相等，则它们是对顶角；

(3)若两个角不是对顶角，则它们不相等；

(4)若两个角不相等，则它们不是对顶角．

问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

答案：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．

对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；

对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．

问题2 若(1)为原命题，则(2)为(1)的________命题，(3)为(1)的________命题，(4)为(1)的________命题．

点题：今天我们学习“四种命题间的相互关系”

活动二：师生交流、进入新知

一、四种命题：

(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．

(2)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的

2

一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若非p，则非q”．

学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：

原命题若p则q互否否命题若┐p则┐q互逆互为为互否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p逆逆否互逆

例：把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．

解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，真命题．

逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题．

否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题．

逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．

问题3：结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？

通过此问，学生将发现：

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

二、四种命题的真假性：

(1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是:________.

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(2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_______真假性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_______真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_______. 原 命 题

逆 命 题

否 命 题

真

假

真

假

假

真

逆 否 命 题

真

假

由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

由此会引起我们的思考：

一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

活动三：合作学习、探究新知

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探究1：

四种命题的概念

例1 把下列命题写成“如果p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 解

(1)原命题：“如果a是正数，则a的平方根不等于0”．

逆命题：“如果a的平方根不等于0，则a是正数”．

否命题：“如果a不是正数，则a的平方根等于0”．

逆否命题：“如果a的平方根等于0，则a不是正数”．

(2)原命题：“如果x＝2，则x2＋x－6＝0”．

逆命题：“如果x2＋x－6＝0，则x＝2”．

否命题：“如果x≠2，则x2＋x－6≠0”．

逆否命题：“如果x2＋x－6≠0，则x≠2”

小结

写已知命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

练习1、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断他们的真假：

（1）实数的平方是非负数；

（2）若x、y都是奇数，则x+y是偶数。

解

(1)原命题是真命题．

逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题

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逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)原命题是真命题．

逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；

否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；

逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．

探究2：

四种命题的关系

例2 下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．

其中的真命题是__________．

则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，

解析①“若xy＝1，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都

相等的四边形不是正方形”，是真命题；所以其逆否命题

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，也是真命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，

是假命题．

答案①②③练习2：有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；

②“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题；

③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“对顶角相等”的逆命题．

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其中真命题的个数是 (

) A．0 B．1

C．2

D．3

解析①否命题是“若x＋y≠0，则x、y不互为相反数”．真

命题．

探究3：等价命题的应用

②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．③否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”．假命题．④逆命题为“若两角相等，则这两角为对顶角”．假命题．例3、证明：若a24b22a10,则a2b1

证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为：“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1 ＝0 ∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确. 【课后思考题】：判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

解：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等22式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集为空集．

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判断真假如下：

抛物线y＝x＋(2a＋1)x＋a＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)－4(a＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0. 即抛物线y＝x＋(2a＋1)x＋a＋2与x轴无交点．

所以关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集为空集．

22222222

故原命题的逆否命题为真．

六、课堂小结

1.

四种命题及其表示形式

2.

四种命题的真假性之间的关系

七、课后作业

八、

八、教学反思

在初中，学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系（原命题和逆命

题）主要来源于几何知识，有很强的几何直观性，便于掌握．高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习命题的有关内容，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此

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