6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质优秀说课稿

正弦、余弦函数的周期性

张雪利 2018年4月27日

【学习目标】

1.掌握周期函数以及最小正周期的定义；

2.会求正弦函数与余弦函数的最小正周期。

【重点、难点】

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用

教学过程设计

（一）创设情境，引出问题

白居易的《赋得古原草送别》

：“离离原上草，一岁一枯荣；野火烧不尽，春风吹又生。”它描绘了自然界很重要的一种现象——周期现象，周期现象是一类重要的自然现象。这种现象给我们以循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，

举例：你能举出生活中具有

“周而复始”变化规律的例子吗？

日出日落，月圆月缺，四季交替，潮起潮落，钟表上的时针分针秒针，星期7天重复一次，月份1年重复一次…

物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动…

课表的安排，摩天轮，新闻联播每天播放一次，地球自转和公转…

自然界存在许多周而复始的现象. 那么数学中的函数是否也具有这种

“周而复始”的变化规律呢？

问题：三角函数值是否具有

“周而复始”的变化规律呢？

数学中从正弦函数、余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性.

（二）定性观察到定量研究

1、从数的角度上看，引导学生探究得出结论：自变量每增加或减少一个定值，函数值就会重复出现：

sin2sin，sin2sin，sin2sin

234234sinx2sinx即f(x2)f(x)对任意的xR都成立，所以f(x)sinx是以2为周期的周期函数．

正弦函数f(x)sinx性质如下：（观察图象）

(1)正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

(2)规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）；

(3)这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明. 符号语言：当x增加2k（kZ）时，总有

f(x2k)sin(x2k)sinxf(x)．

2、从特殊到一般，概括出一般周期函数的定义：

周期函数的定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使定义域D内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．

思考：想一想在周期函数的定义中为什么规定T0?

如：因为sinx2sinx对定义域R内的任何实数x都成立，所以2是正2，4，6，4，6，弦函数f(x)sinx的周期．除此之外，…以及2，…都是正弦函数的周期．事实上，由sin(2k)sin可知，任何一个常数2k(kZ且k0)都是它的周期．

最小正周期的概念：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作它的最小正周期．

如：正弦、余弦函数f(x)sinx，f(x)cosx的最小正周期均是2．

教科书中今后涉及的周期，如果不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期．

3、深化定义的内涵

22（1）等式sin是正弦函sin是否成立？如果成立，能不能说3636数ysinx的周期？为什么？

（2）函数f(x)c是周期函数吗？它有没有最小正周期？

（3）若函数f(x)的周期为T，则kT，kZ*也是f(x)的周期吗？为什么？

说明：

（1）

周期函数：若xD，则必有xTD.若T0，则定义域无上界；T0，则定义域无下界. （2）

函数周期为T，要求对于定义域中的每一个值x均有f(xT)f(x). （3）

并不是所有的周期函数都有最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）．

（4）

T往往是多值的（如f(x)sinx,2,4,2,4,都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期

（三）例题分析

例：求下列函数的周期

1(1)y3cos(2x+)； (2)y3sin(x).63

强调板书过程，书写规范性. 练习：求下列函数的周期

x(1)ycos；

(2)y3sin(3x).

36

学生板演练习，点评. 思考：求下列函数的周期

(1)yAsin(x)； (2)yAcos(x).

探究、归纳与总结：

①利用周期函数的定义求周期时应注意是对x而言，即f(xT)f(x)；

②函数yAsin(x),yAcos(x)，xR（其中A0,为常数）的周期T2.

||（四）随堂练习

111.

函数ysin(x),xR的最小正周期是（ D ）

234(A) (B)2 (C)8 (D)8

32.

设a0，则函数ysin(ax3)的最小正周期为（ D ）

(A)22 (B) (C) (D)

aa|a||a|3.

函数ysinxcosx的最小正周期是（ B ）

(A)1 (B) (C)2 (D)

22

4.

函数ycos4xsin4x的最小正周期是（ A ）

(A) (B)2 (C) (D)4

25.

函数ysin(2x)sin2x的最小正周期是（ A ）

3(A) (B) (C) (D)4

2（五）课堂小结

学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？

1、掌握周期函数与最小正周期的定义，三角函数是刻画周期现象的重要模型；

2、正、余弦函数的周期是2k，最小正周期是2；

A0,0的最小正周期为2；3、yAsin(x)（或yAcos(x)）

4、数形结合、类比与归纳和特殊到一般的数学思想方法．

（六）课后作业布置

1、书面作业：同步学典P120-121；

2、预习下节内容．

（七）板书设计

课题

1、周期函数的定义及其相关概念

公式探究推导

2、正余弦函数的周期

多媒体投影

3、

例题练习展示

yAsin(x),yAcos(x)的周期

（八）课后反思

对周期函数概念的理解注意以下几个方面：

（1）f(xT)f(x)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x值，xT仍在定义域内且使等式成立. （2）周期T是常数，且使函数值重复出现的自变量x的增加值. （3）周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.