6.4 反三角函数ppt配用优秀教学设计

课题：6.5（1）

最简三角方程

一、教学内容分析

最简三角方程是三角学的重要内容之一，是三角函数的周期性和反三角函数概念的最直接运用。其学习要求是在理解三角方程，最简三角方程的定义的基础上，牢固掌握最简三角方程的解集，并会解简单的三角方程。同时，解三角方程需要用到较多的三角、代数知识，比如：三角函数的图像及性质、反三角函数、诱导公式等知识，还包括数形结合、分类讨论、从特殊到一般、类比等数学思想方法，是对所学的三角知识的应用，这有利于温故而知新，在复习旧知识的基础上，培养综合、灵活运用知识和方法的能力。因此这节课在三角比和三角函数这两章内容中占据比较重要的位置，它的本质其实是已知三角函数值，研究满足条件的角的情况，这也进一步完善了解三角形的理论基础。此外，需要指出的是由于三角函数是周期函数，有无限多个自变量对应于同一函数值，因此三角方程的解集通常是无限集。

这节课用解三角形时的一个问题来引入，简单并能引起同学的兴趣，整节课采用启发、探究的教学方法，调动同学积极思考问题。

二、教学目标

1.

理解三角方程、最简三角方程的定义，理解三角方程的解集的概念；

2.

掌握最简三角方程的求解方法及解集的一般表示形式；

3.

通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数；

4.

体会由特殊到一般的研究问题的方法，能综合运用数形结合、分类讨论、类比等数学思想方法解决问题。

三、教学重点、难点

教学重点：最简三角方程的求解方法；

教学难点：最简三角方程解集的一般表示形式；

四、教学技术运用

通过运用多媒体的教学手段，引导学生观察与独立思考，自主探究，合作交流来完成本节课的教学。采用启发式教学模式。

五、教学过程

（一）创设情景，导入新课

在解三角形时，有这样一种情境：

【复习回顾】

1.

已知sin1，

2（1）

若为锐角，求；

（2）

若为三角形的内角，求。

【思考1】若将范围扩大为R，如何求解？

上述问题可以看作是已知三角比的值，研究满足条件的角的情况。

将看作未知数，其实质是求解关于x的方程：sinx1。

2（二）探求新知

- 1 -

一、概念

（1）三角方程：

我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

（2）三角方程的解集：把满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集（通解）。而满足三角方程的特定范围内的角的集合称为三角方程“特解”。

（3）最简三角方程：在三角方程中，形如sinxa,cosxa,tanxa的方程叫做最简三角方程。

二、求解最简三角方程

如何求解sinxa？先给出具体的较简单的实例，便是sinx求方程sinx=1。

2例1. 1的解集。

2为了方便，可以选择正弦函数ysinx,长度为一个周期的区间,内,研究11的解．如图所示：在xoy平面上作直线y交正弦函数ysinx在该区间内于22515和sinxx和x.考两点，则的横坐标就是，即方程的解是P,PP,P1212662661虑到函数ysinx的周期为2，所以sixn的通解是2sinx5kZ,。

xx2kk,Zxxk266也可以利用单位圆进行研究．如图所示：1交单位圆于P1,P225和的终边，也两点，则OP就是角,OP1266在xOy平面上作直线y

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是角x的终边，可得到sinx1的通解：

25xx2k,kZxx2k,kZ。

66x既然sin15的解集是xx2k,kZxx2k,kZ，而266{x|x2ksinx5,kZ}{x|x2k(2k1),kZ}，那么能否将6661的解集写成xxk(1)k,kZ的形式？答：可以。

26【变式】求方程sinx=1的解集。

3解：满足sinx=111在一个周期,上的角为：x=arcsin和x=p-arcsin；所以，333满足sinx=111在xR上的所有角为：x=2kp+arcsin和x=2kp+p-arcsin，333。即方程kÎZsinx=13的解集为11{x|x=2kp+arcsin,k?Z}{x|x2kp+p-arcsin,k?Z}，还可以写成33k{x|x=pk+(-1)1arcks?。i

Zn3,}【思考2】如何求解方程sinxa(aR)？

【小结】

若|a|1，则解集为；

若a1，解集是xx2k,kZ；

2若a1，解集是xx2k,kZ；

2若|a|1，则解集为xx2karcsina,kZ}{x|x2karcsina,kZ，还可以

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写成xxk(1)karcsina,kZ。

能不能用类似于解sinxa的方法来解方程cosxa呢？

仍先给出具体的较简单的实例，便是cosx例2. 求方程cosx=-1。

31的解集。

3【思考3】如何求解方程cosxa(aR)？

【小结】

若|a|1，则解集为；

若a1，解集是xx2k,kZ；

若a1，解集是xx2k,kZ；

若|a|1，则解集为xx2karccosa,kZ。

例3. 求方程tanx=2的解集。

【思考4】如何求解方程tanxa(aR)？

【小结】

tanxa(aR)的解集为xxkarctana,kZ；

【归纳】解最简三角方程的一般步骤：

1.由a的值确定解的情况；（定几解）

2.找出一个周期中满足条件的所有解；（找特解）

3.根据函数周期性，求出定义域上的所有解；（求通解）

4.写出最简三角方程的解集。（写解集）

（三）应用新知，落实掌握

【课堂练习】求下列三角方程的解集：

1. cosx5 2. tanx3,x(2,2) 3.

sinxsin

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（四）总结归纳，知识升华

(1) 这节课主要学习了什么？你有何收获？

(2) 体现了哪些数学思想？

最简三角方程的解集：

方程

方程的解集

a1

a1

sinxa

a1



xx2k,kZ

2xx2k,kZ

2a1

a1

a1

xxk(1)karcsina,kZ



xx2k,kZ

cosxa

a1

xx2k,kZ

xx2karccosa,kZ

xxkarctana,kZ

a1

tanxa

六、教学设计说明

本节课的内容是解最简三角方程，在理解三角方程的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集，这是学好三角方程的关键和基础。这节课用解三角形时的一个问题来引入，简单并能引起同学的兴趣，以问题为驱动，引导学生积极思考，共同探讨，从解方程sinx到解方程sinx121再到解方程sinxa，这些教学环节的不断推进也体现了从特殊到一般3的数学思想。从选择正弦函数ysinx的一个周期内进行研究到利用单位圆研究，问题步步深入，思路逐渐打开。问题情景创设注意面向全体学生，而不是面向少数与个别，使每一个学生积极参与思维活动，既没有超出学生的认识范围，又使学生能够通过探索接受新的知识，使得学生新知识掌握水到渠成。

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