小结优质课教案

圆锥曲线之集中变量

集中变量是一种数学思想！变量或相关或独立，独立变量各自为政，相关变量相辅相成，可集中，可调整，变化之道，存乎一心。圆锥曲线涉及变量多，相关变量更多.如：点的坐标相关于曲线的方程。因此从集中变量的角度思考圆锥曲线的解题方法就成为解决圆锥曲线问题的一种思考方向！

1.小试牛刀

例1.

这是高考数学研究会的每日一题中的今天的试题！

现在我们集中到点M，因为以M的坐标为起点可以产生其他所有的点，这个构图的支撑点！不妨设M(acosa,bsina)，现在变量集中到a！

因此直线PQ:axcosa+bysina=b2

，

1b2=创2a|cosa|b2b31=闯b|sina|a|sin2a|b3

a从而SVEOF集中变量时要做的是找到“牵一发而动全身”的变量，如上题中的M，构图的支撑点，不可肆意妄为. 2.几个例题

uuuruuurx2y2+=1于P,Q两点满足：例2：已知：过D(0,3)的直线交曲线M:DP=lDQ，94则实数l的取值范围是________________.

解析：(1)连接DP

与M:x2y2+=1相交于Q，因此集中变量于Q，不妨设94ìuuuruuurx1=lx2ïP(x1,y1),Q(x2,y2)，由DP=lDQ，可知：ï

，

íïy=3+ly-3()2ïî122ìïx1y1ï?=1ïï94现在由í消元x1,y1

，可得：

22ïx2y2ïï+=1ïïî942ìï223+ly-3ï(())lx22ï+=1ïï94，

í22ïxyï2ï+2=1ïïî9422-l2y2再进一步消元x2即：3+l(y2-3))

，可得：(4+3-3l=1-l2

(3-3l)(2ly24)=1-l2,消去公因式1-l

，虽然有风险，后面补充即可！ì25l-5ïï³0ï轾113l-5轾ï6l犏,5

lÎ

?臌2,2即：í所以y2=，因此，犏ïl-556l臌ï£0ïïï6lîx2y2+=1于P,Q

方法(2)：过D(0,3)作斜率为k的直线交曲线M:94将l向斜率k集中！这是圆锥曲线中最经典的集中变量，通过消元，得到一元二次方程，进而应用韦达定理，注意判别式的正负来完成. 现在我们就试试看！

22xy+=1联立，消元可得：

不妨设PQ:y=kx+3与M:94(4+9k2)x2+54kx+45=0

，D=(54k)-4?45(4由韦达定理得：x1+x2=-54k4+9k222骣25÷9k2)=144çk-鞒ç÷0

ç桫9÷,x1x2=454+9k2

，

(x+x2)x1x324k2-14426

所以l+=1+2=1-2=-2=+22lx2x1x1x2520+45k20+45k-144由y=(x?(0,?x))的单调性可知：l+126挝[2,),ll5骣1÷ç,5÷?. çç桫5÷注意：1.当k不存在时，l=轾11,5

或l=5，所以lÎ犏犏55臌2(x+x2)xx2.l+1=1+2=1-2，属于个性化的变形，需要我们记忆！

lx2x1x1x2以上的两个例题给出了圆锥曲线中集中变量的经典范例：

(1)

集中到斜率k，注意其不存在的情况，消元，得到一元二次方程，利用韦达定理，注意判别式的正负；

(2)

集中到点的坐标，注意参数方程的使用，减少变量的个数！

闲话少说，言归正传！再看一个例题！

例3.已知：A,B是椭圆E:x2y2+=1的左右顶点，点P是椭圆上异于A,B的任43意一点，直线AP与直线l:x=2

交于点M. (1)设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为

定值. (2)直线m满足：M蝆m,mPB，求证：直线m经过定点，并求出定点的坐标. 解析(1)：集中变量到P(2cosa,3sina)(cosa贡1)，原因在于：通过P，直线AP与直线l:x=2

交于点M！

23sina

由A(-2,0),P(2cosa,3sina),M(2,t)三点共线可得：t=1+cosa因此k1=3sina3sina3,k2=,k1k2=-

1+cosa2(cosa-1)2解析(2)：集中变量到AP的斜率k，原因在于：通过斜率k刻画直线AP，与直线l:x=2

交于点M！首先考虑k不存在，此时AP:x=-2不可能与直线l:x=2

交于点M，从而可设直线AP:y=k(x+2)

，可得与直线l:x=2

交于点M(2,4k)，

ì?y1k(x1+2)ïï2xy2

可知：

+=1交于点P(x1,y1)，由íx1与椭圆E:y1ï43+=1ïïïî4322224y1=3(4-x1可消去公因式x1+2

，得：3(2-x1)=4k2(2+x1)

)=4k2(2+x1)，212k即得：x1=6-8k24k2+3,y1=12k4k2+3，因此k1=2k,k2=4k2+3=-3,kk=-3

124k26-8k2-24k2+3解析(3)：集中变量到M(2,t)，原因在于：通过M(2,t)，直线AM与椭圆x2y2E:+=1交于点P(x1,y1)！从而可设直线AM:4y=t(x+2)，则由43ì?4y1t(x1+2)ï2ï222216y1=12(4-x1=t2(2+x1)，

íx1可知：)yï+1=1ïïïî43

可消去公因式x1+2

，得12(2-x1)=t12t2(2+x1)，即得x1=24-2t2t2+12,y1=12tt2+12

，2t33t+12=-,k1k2=-

因此k1=,k2=2t224-2k2-2t2+12至于例3的第二问可以根据前面的解析相应地解答出来！

答案是定点(-1,0)，去试试吧！

这里还有一道类似的问题，来练习一下！

x2+y2=1的左右顶点，点P是圆x2+y2=4上练习题：已知：A,B是椭圆E:4异于A,B的任意一点，在x

轴的上方，直线AP与椭圆E

交于点D.若C(1,0)，设直线PB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2，满足k1=lk2，求l的取值范围. x2+y2=1相交于解析(1)：集中变量到P(2cosa,2sina)，直线AP与椭圆E:4ì?(x12)sina=y1(1+cosa)ïï2D(x1,y1)，

，

í由AP:(x+2)sina=y(cosa+1)可知：x12ï+y1=1ïïïî42消去y1，可得：4(x1+2)sin2a=(4-x1)(1+cosa)

，

22注意消去公因式：(x1+2)(1+cosa)

可得：4(x1+2)(1-cosa)=(2-x1)(1+cosa)

，

x1=10cosa-64sina

,y1=-3cosa+5-3cosa+54sina骣sina4sina11÷-3cosa+5=çk=,k=cosa棍ç从而1÷

桫cosa-1210cosa-613cosa-11ç13÷-1-3cosa+5所以l=13cosa-11113=+

，

4(cosa-1)2(cosa-1)4考虑函数y=可知：l?2(x?x(骣2鼢骣22,-魅-,0?

珑?,0))的单调性，cosa-1?珑珑鼢桫13桫13鼢(ト,0)(0,3)

解析(2)：集中变量到AP的斜率k，首先考虑k不存在，此时AP:x=-2不可能与椭圆E交于点(-2,0)，不符合题意！从而可设直线AP:y=k(x+2)

，与椭圆ì?k(x12)=y1ï2ïx2224k2(x1+2)=(4-x1E:+y2=1联立，y可得íx1，消去，可得：)，

12ï4+y=1ï1ïïî42注意消去公因式2+x1

，可得4k2(x1+2)=(2-x1)

所以x1=2-8k24k2+1,y1=4k4k2+1

，即k2=y1x1-1=4k1-12k(1-212k2?0)

k11骣11çl==3-k2棍÷ç考虑到：AP^PB

，可知：k1=-

，从而÷

桫k212÷4k2çk所以：l?(ト,0)(0,3). 解析(3)：集中变量到D(2cosa,sina)

则k2=sina(2cosa-1?0),kAD2cosa-11kADsina(cosa-1?0)

2(cosa+1)考虑到：AP^PB

，可知：k1=-

，

从而l=k1k2=-2(cosa+1)(2cosa-1)sin2a=4cosa-22=4+

cosa-1cosa-1骣1鼢骣1珑cosa-1?2,-魅-,0?，所以l?珑而珑鼢桫2桫2鼢(ト,0)(0,3)