习题3.1教案教学设计导入整理

3.1空间向量及其运算

1

了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

2

掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

3

掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 1．空间向量的有关概念

名称

零向量

单位向量

相等向量

相反向量

表示

0

a＝b

a的相反向量为－a

a∥b

概念

模为0的向量

长度(模)为1的向量

方向相同且模相等的向量

方向相反且模相等的向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

平行于同一个平面的向量

共线向量

共面向量

2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．

(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

→→已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，π记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 2②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

1

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

数量积

共线

垂直

模

向量表示

[坐标表示

a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3

a·b

a＝λb(b≠0)

a·b＝0 (a≠0，b≠0)

|a|

cos〈a，b〉＝夹角

〈a，b〉(a≠0，b≠0)

a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3·b1＋b2＋b3

规律方法：

1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题→→→→→的基本要求．如本例用OA，OB，OC表示OG，MG等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．

(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．

3.数量积的应用：

a·b(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角；

|a||b|(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥ba·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

类型一

空间向量的线性运算

例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCDABCD.求证:ACABAD2AC.

2

→→→练习１：如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分→→别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：AP,A1N

练习2：

设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_________．

类型二

共线定理、共面定理的应用

例2：射线AB、AC、AD不共面,连结BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图3-1-20,试判断四边形EFGH的图形形状,并用向量的方法证明.

练习1：

已知向量a=(2,1)，b=(1,2),若ma+nb=(9,8)(m,nR),则mn的值为______. 类型三

空间向量数量积的应用

例3：已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．

3

(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；

(2)求MN的长；

(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．

练***行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为→→60°.求BD1与AC夹角的余弦值．

1．

已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(

) A．(－1，1，0) 2．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是(

) A．0 B．1 C．2 D．3 B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)

3.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(

) A．垂直 C．异面 B．平行

D．相交但不垂直

→3→1→1→4.O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点(

) 488A．一定不共面

C．不一定共面

B．一定共面

D．无法判断

1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(

) A．－2 14B．－

314C.

5D．2 →→2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF4

的值为(

) A．a2

1B.a2

21C.a2

4D.32 a43．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则(

) A．c∥d

B．c⊥d

C．c不平行于d，c也不垂直于d

D．以上三种情况均有可能

4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(

) A．(4，0，3) C．(1，2，3)

B．(3，1，3) D．(2，1，3) 5.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．

6.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．

→→→→7.在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．

→→→→→→8.A，B，C，D是空间不共面四点，且AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．

→→9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC. →(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c. (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．

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