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直线与方程复习参考题

教学目标：通过总结和归纳直线与方程的知识，对本章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养数形结合、分类讨论的思想和抽象思维能力。 教学重点： 1.直线的倾斜角和斜率. 2.直线的方程和直线的位置关系的应用. 3.激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 教学难点：

1. 数形结合和分类讨论思想的渗透和理解. 2. 处理直线综合问题的策略. 教学过程： 一、知识要点、易错提醒

（一）概念速记

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角α的范围是[0°，180°)．

tan α，α≠90°，(2)k＝

不存在，α＝90°.(3)斜率的求法：

①依据直线方程；②依据倾斜角；③依据两点的坐标．

2．直线方程的几种形式的转化

3．两条直线的位置关系

设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则

(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0．

(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0．

A1B1C1(3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)．

A2B2C24．距离公式

(1)两点间的距离公式

已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

则|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．

(2)点到直线的距离公式

|Ax0＋By0＋C|①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝；

A2＋B2②两平行直线l1：Ax＋By＋C＝0与l2：Ax＋By＋D＝0的距离d＝（二）易误辨析

1．明确直线的倾斜角与斜率的关系

(1)倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．

(2)倾斜角可正可零不可为负，而斜率k不仅可正，可零，而且可以为负．

2．讨论斜率的情况：在利用直线的斜率处理平行与垂直的关系时，特别要注意直线的斜率不存在的情况．

3．直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离的区别：

(1)直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零，而距离是一个非负数．

(2)当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．

4．点到直线的距离公式的应用

在应用点到直线的距离公式时，一定要把直线化为一般式，明确系数A，B，C．

|C－D|．

A2＋B2二、主题串讲、综合提高

主题1

直线的倾斜角与斜率

已知坐标平面内的三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，3＋1)．

(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围．

【解】

(1)由斜率公式，得kAB＝kBC＝kAC＝3＋1－1＝3，

2－13＋1－13＝．

2－（－1）31－1＝0，

1－（－1）因为tan 0°＝0，

所以直线AB的倾斜角为0°；

因为tan 60°＝3，

所以直线BC的倾斜角为60°；

因为tan 30°＝3，

3所以直线AC的倾斜角为30°．

(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB过程中，直线CD与AB恒有交点，即D在△ABC的边AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为3，3．

3

求直线斜率的一般方法

y2－y1(1)已知直线上两点，根据斜率公式k＝(x≠x)求斜率．

x2－x112(2)直线的倾斜角为90°，则直线的斜率不存在．

(3)已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tan α来求斜率．

(4)利用两直线的平行或垂直关系求解：若两直线平行，则斜率相等(指斜率存在的情况)；若两直线垂直，则斜率互为负倒数(指斜率存在且不为0的情况)．

变式

1．已知直线l过原点，点M，N坐标分别为(3，1)，(1，3)，则当l与线段MN相交时l的斜率的取值范围是________．

解析：

如图所示，当l与线段MN相交时，直线l的倾斜角α∈[α1，α2]，

1其中tan α1＝，

33tan α2＝＝3，

11所以直线l的斜率k∈3，3．

1答案：3，3

主题2

直线的平行与垂直

已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：

(1)过点(－1，3)，且与l平行；

(2)过点(－1，3)，且与l垂直．

3【解】

法一：l的方程可化为y＝－x＋3，

43所以l的斜率为－．

43(1)因为l′与l平行，所以l′的斜率为－．

4又因为l′过点(－1，3)，

3由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，

4即3x＋4y－9＝0．

4(2)因为l′与l垂直，所以l′的斜率为，又l′过点(－1，3)，

34由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，

3即4x－3y＋13＝0．

法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0．将点(－1，3)代入上式得m＝－9．

所以所求直线的方程为3x＋4y－9＝0．

(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0．

将(－1，3)代入上式得n＝13．

所以所求直线的方程为4x－3y＋13＝0．

两直线平行与垂直的判定方法

l1：A1x＋B1y＋C1＝0 方程形式

l1：y＝k1x＋b1

l2：y＝k2x＋b2

l2：A2x＋B2y＋C2＝0 (A1，B1不同时为0) (A2，B2不同时为0) 平行

垂直

l1∥l2⇔k1＝k2，

b1≠b2

l1⊥l2⇔k1k2＝－1

l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 且C1B2－C2B1≠0 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0 变式

2．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，

(1)若l1∥l2，则m＝__________．

(2)若l1⊥l2，则m＝__________．

解析：(1)因为直线x＋my＋6＝0与(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，

1×3－m（m－2）＝0，所以解得m＝－1．

2m≠6（m－2），1(2)因为l1⊥l2，所以m－2＋3m＝0，即m＝．

21答案：(1)－1

(2)

2主题3

距离问题

过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，求这条直线的方程．

【解】

法一：因为kAB＝－5－3＝－4，

4－2所以过P(1，2)且与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0．此直线符合题意．

过P(1，2)及线段AB的中点(3，－1)的直线方程为

3y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0．

2故所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0．

法二：显然所求直线的斜率存在．

设直线方程为y＝kx＋b，据条件有

2＝k＋b，|2k－3＋b||4k＋5＋b|

＝.22k＋1k＋1k＋b＝2，k＋b＝2，化简得或．

k＝－43k＋b＋1＝037所以k＝－4，b＝6或k＝－，b＝．

2237所以直线方程为y＝－4x＋6或y＝－x＋，

22即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0．

距离公式的运用

(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离．

(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．

[注意]

在应用两平行线间的距离公式时，应将两条直线方程中x，y的系数化成对应相同的形式．

变式3．已知直线l经过点P(3，1)且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．

|6－1|5解：设两平行线x＋y＋1＝0和x＋y＋6＝0的距离为d，则d＝＝2．

22如图，设∠PBB′＝θ＝∠PB′B．

则sin θ＝2，所以θ＝45°．

2因为两平行直线的斜率为－1，

故所求直线的斜率不存在或为零，

由于直线过点P(3，1)，

故所求直线l的方程为x＝3或y＝1．

主题4

对称问题

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

【解】

(1)设点A关于l的对称点是A′(x，y)，

y＋22＝－1，3x＋1·所以

x－1y－22·2－3·2＋1＝0，33x＝－，13解得

4y＝，13334－，．

所以A′1313(2)设点P′(x′，y′)是直线m上任意一点，P′(x′，y′)关于直线l的对称点为P(x，y)，

所以

x＋x′y＋y′2·2－3·2＋1＝0，12y－4，x′＝5x＋13解得

12x－5y＋6y′＝13.y－y′2·＝－1，x－x′3

5x＋12y－412x－5y＋6因为P′(x′，y′)在直线m上，所以3·－2·－6＝0，化简得9x－46y＋1021313＝0．

(3)设点Q′(a，b)是直线l上任意一点，点Q′(a，b)关于点A(－1，－2)的对称点为Q(x，y)，

x＝－1，a＋2a＝－2－x，则解得

b＝－4－y，b＋y2＝－2，因为点Q′(a，b)在直线l上，

所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，

化简得2x－3y－9＝0．

对称问题的解决方法

(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．

(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．

设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，求l关于P点的对称直线方程．

设P′(x，y)是对称直线l′上任意一点，它关于P(x0，y0)的对称点(2x0－x，2y0－y)在直线l上，代入得A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0．

(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．

设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，若P关于l的对称点Q的坐标为(x，y)，则ly－yA－B＝－1，x－x·是PQ的垂直平分线，即①PQ⊥l；②PQ的中点在l上．解方程组x＋xy＋yA·＋B·＋C＝0，220000可得Q点的坐标．

(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．

变式4．已知A(4，1)，B(0，4)两点，在直线l：3x－y－1＝0上找一点M，使得||MA|－|MB||的值最大，并求此时点M的坐标及最大值．

解：设B(0，4)关于直线l：3x－y－1＝0的对称点为B′(x0，y0)，

y－41＝－，x－03则

x＋0y＋43·2－2－1＝0，0000x0＝3，解得所以B′(3，3)．

y＝3，0设M′为l：3x－y－1＝0上任意一点，则有||M′A|－|M′B′||≤|AB′|，当且仅当M′，B′，A三点共

线时，上式等号成立，此时||M′A|－|M′B′||取得最大值|AB′|，

且|AB′|＝（4－3）2＋（1－3）2＝5．

因为过点A(4，1)，B′(3，3)的直线方程为2x＋y－9＝0，x＝2，得

3x－y－1＝0，y＝5.y－1x－4＝，即2x＋y－9＝0．解方程组3－13－4所以直线AB′与直线l的交点为M(2，5)．

所以当点M的坐标为(2，5)时，||MA|－|MB||取得最大值，且最大值为5．

三、应用案、巩固提升

1．直线x－y－2a＝0与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是(

) 1A．2，＋∞

11－，

C．22x－y－2a＝0解析：选C．由，

x＋y－1＝01－∞，－

B．211－，

D．221x＝a＋2得．

1y＝－a2因为两直线的交点在第一象限内，

1a＋>02所以，

1－a>0211所以－＜a＜．故选C．

222．(2018·东北育才学校月考)已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为(

) A．15x－10y－6＝0

C．6x－4y－3＝0

B．15x－10y＋6＝0 D．6x－4y＋3＝0 332解析：选A．由题意，可知直线l的斜率k＝，故可设直线l的方程为y＝x＋b，则有－b223333－b＝1，解得b＝－，所以直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0．故选A．

5253．若a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点(

) 11－，－

A．6211，－

B．62

11C．2，6

11－，

D．26解析：选B．采用赋值法．令a＝－1，b＝1或a＝1，b＝0，得直线方程分别为－x＋3y＋111，－，此即为直线所过的定点．故选B．

＝0，x＋3y＝0，其交点为624．已知点A(－1，－2)，B(2，3)，若直线l：x＋y－c＝0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是(

) A．[－3，5]

C．[3，5]

B．[－5，3] D．[－5，－3] 解析：选A．直线l：x＋y－c＝0表示斜率为－1的一族平行直线，所以把点A、B代入即可求得在y轴上的截距的取值范围：代入点A得c＝－3，所以直线在y轴上的截距为－3，同理代入点B得直线在y轴上的截距为5．

5．从点(1，0)射出的光线经过直线y＝x＋1反射后的反射光线射到点(3，0)上，则该束光线经过的路程是(

) A．25

C．5

B．2 D．2 解析：选A．因为点(1，0)关于直线y＝x＋1对称的点的坐标是(－1，2)，所以该束光线经过的路程即为点(－1，2)与点(3，0)之间的距离d，由两点间的距离公式可得d＝（－1－3）2＋（2－0）2＝25．故选A．

6．两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________．

解析：当两平行线l1，l2垂直于PQ时，l1，l2之间的距离最大，最大值为|PQ|＝32＋（－4）2＝5，所以l1，l2之间的距离的取值范围是(0，5]．

答案：(0，5] 7．已知直线l1：mx＋4y－2＝0与l2：2x－5y＋n＝0相互垂直，且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为________．

解析：因为l1⊥l2，所以2m＋4×(－5)＝0，解得m＝10；

又因为点(1，p)在l1上，所以10＋4p－2＝0，即p＝－2；

又因为点(1，p)也在l2上，所以2－5×(－2)＋n＝0，

即n＝－12．

所以m－n＋p＝20．

答案：20 8．已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________．

|x＋y－2|解析：设C(x，y)，则AB：x＋y－2＝0，|AB|＝22，点C到直线AB的距离d＝．又2|x＋x2－2||x＋x2－2|1因为点C在y＝x上，所以d＝．令S△ABC＝×22×＝2．解得x＝0，2222－1－17－1＋17－1，，．所以满足条件的点有4个．

22答案：4 9．

如图所示，已知射线OA，OB与x轴的正向分别成45°与30°的角，过点P(1，0)的直线与两1射线分别交于点C，D．若线段CD的中点恰好在直线y＝x上，求CD所在直线的方程．

2解：当CD的斜率不存在时，即过点P(1，0)的直线的斜率不存在，

故CD所在直线的方程为x＝1，不合题意，舍去；

当CD的斜率存在时，

设CD所在直线的斜率为k(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则CD所在直线的方程为y＝k(x－1)．

由题意得OA，OB所在直线的方程分别为y＝x和y＝－kx1＝，k－1y＝x，联立得

ky＝k（x－1），y1＝.k－13x，

3y＝－3x，3又由

y＝k（x－1），3kx＝1＋3k，解得

ky＝－1＋3k.221由已知得y1＋y2＝(x1＋x2)，

2kkk3k－即2k－1＝＋，

1＋3kk－11＋3k3＋3解得k＝．

2

故CD所在直线的方程为y＝3＋3(x－1)．

210．(2018·江西省南昌二中测试)已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．

解：设点B的坐标为( 4y1－10，y1)，则AB的中点坐标为因为AB的中点在直线6x＋10y－59＝0上，

4y1－7y1－1所以6×＋10×－59＝0，

22解得y1＝5，所以B(10，5)．

设点A关于直线x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，

4y1－7y1－12，2．

则有y′＋11x′－3×4＝－1x′＋3y′－1－4×＋10＝022，

x′＝1解得即A′(1，7)．

y′＝7，而BC边所在的直线经过点A′，B，

y－7x－1所以BC边所在直线的方程为＝，

5－710－1整理得2x＋9y－65＝0．