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向量法求解二面角

一．

教学内容分析

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。

随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。

二. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设

n1,n2分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量

n1,n2的夹角为，则有（图1）或

（图2）

n2

ω

n1



n1

α

θ

l

α

图1

图2 θ

β

l

β

n2

基本结论

构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．

三. 如何求平面的一个法向量: 例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别

为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。

A G D E B F C ADBCz y 图3 11略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1，,0) 、F(，1,0) 、

2x 2

1

11111GE(0,,)FE(,0)

G(1,0，)由此得:22222设平面的法向量为n(x,y,z)

由nGE及nFE可得

11nGEyz022xy

11zynFExy022令y=1取平面的一个法向量为n(1,1,1)

评析

因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。

四. 法向量的应用举例: 例题4.

在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小．

解

如图2，建立空间直角坐标系．

依题意：A1（0，0，2），D（0，a，0）．

∴Q（2，2，0），D（0，4，0），

∴A1Q(2,2,2),QD(2,20)．

面AA1D的法向量n1(1,0,0)．

设面A1DQ的法向量n2(a1,a2,a3)，

a2a1,nAQ2a12a22a30,则21

a32a1,n2QD2a12a20,O（A）

y D B Q C x A1

z D1

C1

B1

图4

∴n2(a1,a1,2a1)．

令a1=1，则n2(1,1,2)，

∴cosn1,n2n1n2n1n21166．

6二面角的平面角为锐角

∴二面角A—A1D—Q的大小为arccos

6．

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评析（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。

（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令a11，则n2(1,1,2)，∴cosn1,n2的大小

是n1,n2arccos6，∴二面角A—A1D—Q666的补角arccos。所以在计算之前不妨先依题66意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

例5

如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=角的大小。

解：

以A为原点如图建立空间直角坐标系，

1则S（0，0，），

A（0，0，0），

21B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），

2x 11∴SA(0,0,),SB(0,1,)

22111SD(,0,),SC(1,1,)，

222S A D C 图5 B y 11，AB=BC=1，AD=。

求侧面SCD与面SBA所成的二面22z 显然平面SBA的一个法向量为n1=(1，0，0)，

设平面SCD的一个法向量为n2=(x，y，z)，则n2⊥平面SCD xz0n2SD0取z2,则n2(2,1,2)

∴

2x2yz0n2SC0则cosn1,n2n1n2|n1||n2|122

133评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）但判断侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就不明显了，当

3

不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案。

五. 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求解二面角. 原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系：

如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”，

此时两法向量在三个坐标平面xoy,yoz,xoz的投影也

可以看成是“一进一出”，这时不难得出n1,n2的夹角

就是二面角的大小，反之就不是。

其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想

要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢？

如图7所示：平面ABC的法向量n

图6 n1n2z

若要法向量n的方向“向上”,可设n＝(x,y,1)或

A n＝(x,y,z0),其中z0>0；若要法向量n的方向

“向前”,可设n＝(1,y,z)或n＝(x0,y,z),其中

，可设n＝

x00；若要法向量n的方向“向右”(x,1,y)或n＝(x,y0,z),其中y00

n

o C y

所以，只要我们判断两个法向量的方向是

“一进一出”，那么所求的二面角的平面角就等

于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，

那么

所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲。

例题6 改编自2007年福建高考题

如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为

2，D为CC1中点．

A x

B 图7 A1

C D C1

4

B B1

（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）求二面角AA1BC1的大小；

解：（Ⅰ）．

取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

解略

（Ⅱ）设平面AA1B的法向量为n(x，y，z)．

A z A1

F C D 2，0)．

AB(1,0,3)，AA1(0，nAB,nAA1

nAA12y0

nABx3z10令z1，得平面A1AD的一个法向量n(3,0,1)

设平面A1BC1的法向量为v(a,b,c)．

x O B C1

y B1

BA,2,3)，BC1(2,2,0)．

1(1vBA1,vBC1

nBA1a2b3c0

nBC12a2b0令a1，得平面A1BC1的一个法向量v(1,1,3)

cosn,vnvnv232515

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5所求的二面角的平面角是arccos评析

上题中的两个平面的法向量是符合“一进一出”的，所以它们的夹角就等于所求的二面角的大小。可见通过判断法向量的方向，就可以解决直观不能判断二面角的锐或钝的情况。

5

将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法，而在利用法向量求二面角的过程中，若能巧设法向量，则能使解题过程更加简洁明快，进一步优化。

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