第四章 圆与方程（通用）教学实录

4.1.1

圆的标准方程

学习目标

1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．

知识点一

圆的标准方程

思考1

确定一个圆的基本要素是什么？

答案

圆心和半径．

思考2

在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？

答案

能．

梳理

(1)把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程．

(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 知识点二

点与圆的位置关系

思考

点A(1,1)，B(4,0)，C(2，2)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？

答案

|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2. 梳理

点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法

位置关系

点M在圆上

点M在圆外

点M在圆内

类型一

求圆的标准方程

命题角度1

直接法求圆的标准方程

例1

(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y45＝0的距离为，则圆C的方程为________．

5(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________．

答案

(1)(x－2)2＋y2＝9

(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析

(1)设圆心C的坐标为(a,0)(a＞0)，

|2a|45由题意知＝，解得a＝2，

55则圆C的半径为r＝|CM|＝22＋52＝3. ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. (2)∵圆心坐标为(－5，－3)，

又与y轴相切，

∴该圆的半径为5，

∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 反思与感悟

(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．

(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．

跟踪训练1

以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(

) 利用距离判断

|CM|＝r |CM|>r |CM|

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

(x0－a)2＋(y0－b)2>r2

(x0－a)2＋(y0－b)2

A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 答案

D 解析

∵AB为直径，

∴AB的中点(1,2)为圆心，

11|AB|＝5＋32＋5＋12＝5为半径，

22∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 命题角度2

待定系数法求圆的标准方程

例2

求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．

解

方法一

(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

a＋b＝r，222则有1－a＋1－b＝r，2a＋3b＋1＝0，a＝4，解得b＝－3，r＝5.222

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二

(直接法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，

2x＋3y＋1＝0，∴由

x＋y－1＝0，x＝4，得

y＝－3，

即圆心坐标为(4，－3)，

半径为r＝42＋－32＝5. ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 反思与感悟

待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

跟踪训练2

已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．

解

方法一

设所求圆的标准方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，

所以它们的坐标都满足圆的标准方程，

0－a＋5－b＝r，222于是有1－a＋－2－b＝r，－3－a2＋－4－b2＝r2，222

a＝－3，解得b＝1，r＝5.

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 方法二

因为A(0,5)，B(1，－2)，

－2－513所以线段AB中点的坐标为(，)，直线AB的斜率为kAB＝＝－7，

221－0311因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝(x－)，即x－7y＋10＝0. 272同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. x－7y＋10＝0，由得圆心坐标为(－3,1)．

2x＋y＋5＝0，

又圆的半径长r＝－3－02＋1－52＝5，

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 类型二

点与圆的位置关系

例3

(1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(

) A．点P在圆内

B．点P在圆外

C．点P在圆上

D．不确定

(2)已知点M(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是_________．

答案

(1)B

(2)[0,1) 解析

(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，

得点P在圆外．

a≥0，(2)由题意知

5a＋1－12＋a2<26，a≥0，即解得0≤a<1. 26a<26，

反思与感悟

(1)判断点与圆的位置关系的方法

①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可．

②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．

(2)灵活运用

若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．

跟踪训练3

已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是________．

答案

(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析

由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，

2a2－2>0，

即a<－1或a>1. 类型三

与圆有关的最值问题

y例4

已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值．

x解

原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，

y设＝k，即y＝kx. x当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，

此时|2k－0|＝3，

k2＋1解得k＝±3. y故的最大值为3，最小值为－3. x引申探究

1．若本例条件不变，求y－x的最大值和最小值．

解

设y－x＝b，即y＝x＋b. 当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，

|2－0＋b|此时＝3，即b＝－2±6. 2故y－x的最大值为－2＋6，

最小值为－2－6.

2．若本例条件不变，求x2＋y2的最大值和最小值．

解

x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方．

由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，

又圆心到原点的距离为2，

故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，

(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43. 反思与感悟

与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型

y－b(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．

x－a(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线

aly＝－x＋截距的最值问题．

bb(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．

1跟踪训练4

已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求：

4(1)x2＋y2的最值；

(2)x＋y的最值．

解

(1)由题意知，x2＋y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值．

原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，

13故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，

2211最小距离为1－＝，

2291因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 44(2)令x＋y＝z并将其变形为y＝－x＋z，

问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值．

当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，

|－1－z|1此时有＝，

222解得z＝±－1，

2因此x＋y的最大值为22－1，最小值为－－1. 22

1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为(

) A．(－1,5)，3

C．(－1,5)，3

答案

B 2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(

) A．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 答案

A 解析

方法一

(直接法) 设圆的圆心为C(0，b)，则0－12＋b－22＝1，

∴b＝2，

∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 方法二

(数形结合法) 作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. B．x2＋(y＋2)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 B．(1，－5)，3 D．(1，－5)，3

3．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为

(

) A．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝1 答案

A 解析

∵AB的中点坐标为(0,0)，

|AB|＝[1－－1]2＋－1－12＝22，

∴圆的方程为x2＋y2＝2. 4．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是________．

答案

1 解析

x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为14－52＋122＝1. 5．求下列圆的标准方程．

B．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝4

(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，－4)；

(2)过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆．

解

(1)由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心，

∴圆心坐标为(4,1)，半径为

5－32＋6＋42|AC|104r＝＝＝＝26，

222∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26. (2)由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心，

3－1由kCD＝＝1，CD的中点坐标为(0,2)，

1－－1∴CD的垂直平分线为y＝－x＋2. 则圆心坐标为(2,0)，r＝－1－22＋1－02＝10，

∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.

1．判断点与圆位置关系的两种方法

(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．

(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：

点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2

点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. 2．求圆的标准方程时常用的几何性质

求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：

(1)弦的垂直平分线必过圆心．

(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．

(3)圆心与切点的连线长是半径长．

(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．

3．求圆的标准方程常用方法

(1)待定系数法．(2)直接法．

课时作业

一、选择题

1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为(

) A．(－1,2)，2

C．(－1,2)，4

B．(1，－2)，2 D．(1，－2)，4

答案

A 2．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(

) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 答案

B 解析

如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，

圆的半径为r＝2－02＋－3－02＝13. 故所求圆的标准方程为

(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是(

) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 答案

C 解析

根据圆在直线x＋y－2＝0上可排除B、D，再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确．

4．点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是(

) A．|a|＜1

1C．|a|＜

5答案

D 解析

依题意有(5a)2＋144a2＜1，

所以169a2＜1，

11所以a2＜，即|a|＜，故选D. 169135．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为(

) A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5 1B．a＜

3D．|a|＜1

13B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

C．(x－5)2＋y2＝5 答案

D 解析

设圆心坐标为(a,0)，

由题意知|a|＝5，∴|a|＝5. 5D．(x＋5)2＋y2＝5 ∵圆C位于y轴左侧，∴a＝－5，

∴圆C的标准方程为(x＋5)2＋y2＝5. 6．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(

) A．第一象限

C．第三象限

答案

D 解析

(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限．

7．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为(

) A．(x＋1)2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1 答案

C 解析

由已知圆(x－1)2＋y2＝1，得圆心C1的坐标为(1,0)，半径长r1＝1. 设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，即圆心C的坐标为(a，b)，

B．x2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 B．第二象限

D．第四象限

则a＋1b－2＝2，a＝0，解得

b＝－1.b·－1＝－1，a－1

所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1. 8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(

) A．6

B．4

C．3

D．2 答案

B 解析

如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.

二、填空题

9．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程为________．

答案

(x－2)2＋(y＋1)2＝1 解析

已知圆的圆心M的坐标为(－2,1)，关于原点对称的点的坐标为(2，－1)，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 10．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．

答案

5＋2 解析

点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋2. 11．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．

答案

(x－2)2＋(y－1)2＝1 解析

∵圆心在第一象限，而且与x轴相切，

∴可设圆心坐标为(a,1)，

则圆心到直线4x－3y＝0的距离为1，

即|4a－3|1＝1，得a＝2或a＝－(舍去)，

52∴该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1. y－212．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值是______．

x－13答案

4解析

y－2的几何意义是两点(x，y)与(1,2)连线的斜率，而点(x，y)在圆x2＋y2＝1上，

x－1过点P(1,2)作圆的切线，

由图知PA的斜率不存在，PB的斜率存在，则PB的斜率即为所求．

∴设PB的方程为y－2＝k(x－1)，得kx－y－k＋2＝0. 又∵PB和圆相切，

∴|－k＋2|3＝1，得k＝. 4k2＋1

∴y－23的最小值是. 4x－1三、解答题

13．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的标准方程．

解

设圆心坐标为(a，b)，

∵AB的中点坐标为(1,6)，

∴AB的垂直平分线为y＝6. ∵圆心(a，b)在AB的垂直平分线上，

∴b＝6. 由题意得a－12＋6－22＝解得a＝3或－7，

当a＝3时，r＝3－12＋6－22＝25. 当a＝－7时，r＝－7－12＋6－22＝45. ∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20 或(x＋7)2＋(y－6)2＝80. 四、探究与拓展

14．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(

) A．6

C．26

答案

D 解析

(x－5)2＋(y＋4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，－4)的距离的平方．

因为点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，且点Q在圆外，

所以其最大值为(|QC|＋1)2＝36. 15．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求x＋12＋y＋12的最大值与最小值．

解

因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，所以x＋12＋y＋12表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外，如图所示．设圆心为C，则

|AC|＝0＋12＋－4＋12＝10，

所以x＋12＋y＋12的最大值为|AC|＋r＝10＋2，最小值为|AC|－r＝10－2. B．25 D．36 |a－2×6－1|，

12＋－22