习题2.4特级教师教学实录

教学设计

课题

2.4.1 抛物线及其标准方程 知识与技能

教

学

目

标

过程与方法

情感态度价值观

1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．

2．会求简单的抛物线的方程．

通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程．通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 通过自己亲自动手尝试画图，发现抛物线的形成过程进而归纳出抛物线的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力．

[来源:学科网ZXXK]重点

抛物线及其标准方程

难点

抛物线及其标准方程

教学计

教学内容

探究点一

抛物线定义

问题1 画出的曲线是什么形状？

答案

抛物线．

问题2 |DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？

答案

是．AB是直角三角形的一条直角边．

问题3 点D在移动过程中，满足什么条件？

答案

|DA|＝|DC|.

结论：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

问题4 在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？

答案

在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．如到点F(1,0)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y－1＝0，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线

22例1 方程2[(x＋3)＋(y－1)]＝|x－y＋3|表示的曲线是(D

) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

教学环节与活动设计

教师引导，学生思考

教师活动：请同学们观察它是什么曲线？

学生活动：抛物线

教师活动：在这一过程中，动点d点都满足什么条件？（拖着三角板移动）[来源:学#科#网Z#X#X#K]

学生活动：思考作答

教师活动：根据刚才的作图过程我们来归纳一下抛物线的定义

学生活动：学生自己归纳

教学内容

探究点二

抛物线的标准方程

问题1 结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？

答案

(1)建系：建立直角坐标系如图所示，设|KF|＝p (p>0)，那么焦点F的坐标为p2，0，准线l的方程为x＝－p2.

[来源:学科网]教学环节与活动设计

教师活动：要求轨迹方程就要设点的坐标，点的坐标是在坐标系的前提下才成立的，如何来建立(2)设点：设抛物线上的任一点M(x，y)．

(3)列式：由|MF|＝|MH|得x－p22＋y2＝x＋p2. (4)化简：得y2＝2px (p>0)①

就是抛物线的标准方程

问题2 抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？

答案

p是抛物线的焦点到准线的距离．

抛物线的标准方程有四种类型：

坐标系呢？

学生活动：思考

教师活动：因此，建系是关键，类比椭圆与双曲线的建系的方法，可以看出我们要让尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的应用到对称关系

。

教师活动：提出问题：设焦点

到准线

的距离为p（p>0）,你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程，才能使所得的方程形式比较简单呢？

学生活动：分组讨论，最后由每个小组推荐一人发言。

①焦点在x轴的正半轴上，其标准方程为y2＝2px (p>0)；

②焦点在x轴的负半轴上，其标准方程为y2＝－2px (p>0)；

③焦点在y轴的正半轴上，其标准方程为x2＝2py (p>0)；

④焦点在y轴的负半轴上，其标准方程为x2＝－2py (p>0)．

例2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．

22(1)y＝－6x；

(2)3x＋5y＝0；

222(3)y＝4x；

(4)y＝ax (a≠0)．

小结

如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．

教学内容

探究点三

抛物线定义的应用

教学环节与活动设计

教师活动：通过刚才分析得到

学

设

计

教

学

小

结

课后

反思

的一些结论，我们来试试下面1例4 已知点A(3,2)，点M到F，0的距离比它到y的题目。

21

轴的距离大. 2注意：一定要先把抛物线化为(1)求点M的轨迹方程；

标准形式后再确定焦点、开口 (2)是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，及准线

求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

小结

(1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题教师活动：通过本节课的学习，我们来回忆一利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点下，学到了些什么？

到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．

学生活动：抛物线的定(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距义，标准方程（可由几离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过个学生补充）

程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．

2跟踪训练4 (1)抛物线y＝4x上的一点M到焦点的距离教师活动：类比前面学习为1，则点M的纵坐标是

(B

) 椭圆和双曲线，我们17157A.

B.

C.

D．0 知道，学了定义了方程161682(2)已知点P是抛物线y＝2x上的一个动点，则点P到之后，我们就要进一步点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最学习他的几何性质了，小值是( A ) 大家可以课后去先思179考一下。

A.

B．3

C.5

D.

22

【小结】

1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．

2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也2可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x＝2my (m≠0)．

通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程．通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 学生对于抛物线定义，建系得出抛物线标准方程基本掌握。对于灵活应用还需练习