第四章 圆与方程（通用）优秀教案说课稿

圆的标准方程

南星中学 高玉华

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

2、探索研究：

（1）：建立圆的标准方程

师：(引导学生回顾圆的定义)平面直角坐标系内知道哪些条件可以确定一个圆？

生：圆心C和半径r 师：（引导启发）圆上的任意一点满足什么条件？

生：圆上的任意一点到圆心的距离等于半径。

生：此圆是到点A(a,b)的距离等于半径r的点M(x,y)的集合，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）

P{MMAr} 由两点间的距离公式得 (xa)2(yb)2r

两边平方得(xa)2(yb)2r2

该圆上所有的点的坐标是否满足该方程，坐标满足该方程的点是否一定在圆师：上？

生：由刚才的推导过程可知，该圆上所有的点的坐标满足该方程；反之，若点的坐标满足该方程，则该点到圆心C的距离都为r，由圆的定义可知，这样的点在圆上；

222(xa)(yb)r师：方程叫做圆的标准方程.

64A2M-55-2-4

（2）：熟悉圆的标准方程的结构

题型一：（一）已知圆的方程，写出圆心坐标和半径；

1：(x-3)2+(y+2)2=4. 222

： (x+4)+(y-2)=7 22

3

：

x+(y+1)=16

（二）求出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程；

1：圆心在原点，半径是3；

2：圆心在点C（3，4），半径是根号5 3：经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）

1(4,9),P2(6,3)，则以PP12为直径的圆的方程。

4：已知两点P题型二：判断点与圆的位置关系；

例（1）：写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究点与圆位置关系：几何法，代数法

探究：点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的关系的判断方法：

（1）(x0a)(y0b)>r，点在圆外

（2）(x0a)(y0b)=r，点在圆上

（3）(x0a)(y0b)

222222222222

练习：已知圆O的方程为(x+1)+(y-1)=422

。判断下面的点在圆内、圆上、还是圆外？A(1,1)

B(0,1)

C(0,3)

（3）圆的标准方程的求法

直接或间接的给出圆心坐标和半径，求圆的标准方程。意在让学生熟悉求圆的标准方程的方法：直接找圆心坐标和半径。为下面稍微复杂一些的问题作铺垫。

这三题比较简单，可以安排学生口答完成。

3、知识应用与解题研究

例（2）：

ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程

师生共同分析：常用方法有两种：待定系数法和几何法

方法一：待定系数法；

（注：此法学生比较容易想到，难点在三元二次方程组的解法，可以由教师分析并板书过程）

方法二：几何法；

（注：此法的关键在于想到圆的一条性质----弦的中垂线过圆心。因此只要找到两条弦的中垂线的方程，联立解方程组即可。求出圆心坐标以后，半径不难求到；）

若学生想到其它解法，比如设出圆心坐标，利用A、B、C到圆心距离相等列出两个方程，先求出圆心坐标，应予以肯定，同时让学生意识到类似解法一。

例(3):已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

（教师板书解题过程。） 4l2A-5m5-2CB-4-6

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 练习：课本p127第1、3、4题

五、课堂小结

（1）知识: 圆标准方程：

，圆心C（a,b）,半径r （2）方法：

点与圆的位置关系的判断方法：几何法、代数法；

圆的标准方程的求法：待定系数法、几何法；

（3）数学思维

类比：是在研究相似的对象时的一种很好的方法；

化归：把遇见的新的问题转化为会解决的，例如本节课：解方程（组）时的消元、降次；

作业：课本p130习题4.1第2、3、4题