探究与发现 为什么截口曲线是椭圆课件配套优秀

§2.2.1

椭圆及其标准方程

一、教学目标

知识与技能

1、掌握椭圆定义及其标准方程。

2、明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。

3、会求一些简单的椭圆的标准方程。

过程与方法

通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提供运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

情感态度与价值观

1、亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学中的美。

2、通过主动探索、合作交流，让学生感受探索的乐趣和成功的喜悦，增加学生求知欲和自信心，培养其不怕困难、勇于探索和契而不舍的钻研精神，形成积极学习数学知识的态度。

二、教学重点、难点

重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。

难点：椭圆标准方程的推导和化简，坐标法的应用。

三、教学过程

（一）创设情境，引入课题

“神舟十一号”载人飞船的运行轨道、星系中的椭圆、生活中的椭圆物件。

问题：你能再举一些生活中的关于椭圆的例子吗？

问题：如何才能精确地设计、制作出现实生活中这些椭圆形的物件呢？

（二）动手试验，形成概念

1、动手试验：

（1）、取一条细绳，对折后，将两端点重合固定在板上的点O，将笔尖（M）套在绳上拉紧，移动笔尖，画出的轨迹是什么？（教师演示）

问题：移动的笔尖（M）满足什么几何条件？（OMa）（同时回顾圆的定义，设其半径为a）

（2）、探究：在（1）中，将两端点从O处分开并把它们分别固定在板上的两点F1、F2同样用笔尖（M）把细绳拉紧，移动笔尖，画出的轨迹又是什么？

思考？在画图过程中，F1、F2的位置是固定的还是运动的？绳子的长度有无变化？是多少？绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？你能说出移动的笔尖（M）满足什么几何条件？

2、概括出椭圆定义

平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。

教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

（三）研讨探究，推导方程

我们知道利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤可简单概括为以下四步：

①建系

②设点

③列式

④化简

思考？观察椭圆形状(对称，简洁)，你认为怎样选择坐标系才能使求出的椭圆方程更为简单？

将各组学生的讨论方案（教师适当启发）归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式。

y 方案一

y

方案二

M

F2

O x FFO x 12

M

F1选择方案一师生共同研讨探究椭圆标准方程。

第一步、如图建立直角坐标系。

第二步、设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆焦距为2c（c0）则F（）,F2(c,0)，M与F1,F2的距离的和为2a。

1c,0第三步、由椭圆上的点满足MF1MF22a则

2（xc）y2(xc)2y22a

第四步、思考？对于上式，你会怎样化简？

移项

(xc)2y22a(xc)2y2

两边平方得

(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2

整理得

a2cxa(xc)2y2

上式两边再平方，得

a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2

整理得

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

两边同除以a2(a2c2)，得

x2y21

①

222aac思考？观察右图，你能从中找出表示a,c,a2c2

的线段吗？

若我们令b2a2c2，则①式就是

x2y21(ab0)

②

a2b2

显然，方程②中，a,b,c,有明显的几何意义，得到的方程比①更加的简洁，而且代数特征明显。

思考？若焦点F1,F2在y轴上（即方案二），且F（，c）,F2(0，c,)，a，b意义10同上，此时椭圆的方程又是什么？

y2x22ab0）容易知道，此时椭圆方程为2+2=1，同样也有b2a2c（。

ab至此，我们所得的两个方程

x2y2y2x2+2=1（ab0）和2+2=1（ab0）

2abab都是椭圆的标准方程，只是它们焦点所处的坐标轴不一样而已。

（四）归纳概括，方程特征

1、填表

标准方程

y M

y 图形

F2F2x M O F1O

x F1

a,b,c的关系

焦点坐标

焦点位置

2、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，焦点一定在坐标轴上；

（2）椭圆标准方程代数特征：左边是两个分式的平方和，右边是1；

2ab0）（3）椭圆标准方程中a,b,c关系：b2a2c（；

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。

（五）例题研讨，知识反馈

x2y21上一点P到椭圆一个焦点的距离等于6，则P到另一例1、已知椭圆2516焦点的距离是

。

例2、判断下列各方程，它们表示椭圆吗？若是，指出椭圆的焦点位置、焦点坐标、焦距以及a,b的值，若不是，请说明理由。

x2y2x2y2（1）221 （2）221 （3）2x24y21 4343（六）变式训练，巩固创新

x2y21

，曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P1、已知椭圆的方程为45到另一个焦点F2的距离等于_________，则△F1PF2的周长为___________。

x2y21，则a=

，b=

，c=

。

2、已知椭圆方程为100363、a5，c4的椭圆标准方程是

。

（七）小结归纳，提高认识

知识总结：

1、椭圆是怎样的点的轨迹？

2、椭圆的标准方程是怎样的？

3、椭圆标准方程中a,b,c之间的关系是什么？

思想方法：在本节课的学习中，我们用到了哪些数学思想方法？

（八）课后作业，巩固提升

教材P49 习题2.1A组 第1、2题。

课后拓展

1、在椭圆定义中，平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数（大于F1F2），为什么这个常数一定要大于F1F2？如果等于F1F2，得到的轨迹是什么？如果小于呢？

2、如图，圆Ｏ的半径为定长r，A是圆Ｏ内的一定点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆周上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

3、已知B、C是两个定点，|BC|=6，ABC的周长为16.问点A的轨迹是什么曲线？你能写出它的方程吗？

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