3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案和课堂实录

《倾斜角与斜率》

（一）创设情境，揭示课题

解析几何在后续研究圆、椭圆等曲线时，都先以轨迹生成的方式定义，而直线是个例外，只描述不定义。学生原有认知中的两点确定一条直线是直线的静态描述，少了线的形成过程，本节课以点动成线引入.（在屏幕上显示点动成线）

问题：直线是怎么形成的？过点P的直线,位置能够确定吗？ 问题：如何从数学的角度说明直线的倾斜程度（方向）？

倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

（二）巩固旧知，同化新知

问题：倾斜角反映了直线的方向（倾斜程度），还有没有表示倾斜程度的量呢？

过程说明：从直线的形成过程来说，点动成线，是一点向不同方向的辐射，不妨把一点称为原始点，一点称为发散点，那么确定直线位置关系的就是发散点，我们来看看他相对于原始点，什么发生了变化.通过几何画板的演示，引导学生发现发散点坐标的变化使得它对于原始点相对位置发生的变化，也就是说纵横方向都在变化，此时可以用纵横的比值来表示直线的倾斜程度。如果我们把纵向的变化看成升高量，横向的变化看成前进量，那么我们会联想到初中学过的哪个量也能表示倾斜程度呢？

1

通过几何画板演示小车爬坡，帮助学生回忆坡度和坡角。

坡度（比）=

升高量

前进量

（即坡角的正切值）

如果我们使用刚刚学到的倾斜角这个概念，坡度就是倾斜角的正切。在直线中，倾斜角的正切我们再赋予它另

外的名称——斜率。

斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示。

问题：所有的倾斜角都有斜率吗？倾斜角的变化对斜率的正负有什么影响呢？

过程说明：倾斜角是从坡角迁移过来的，倾斜角是锐角时学生很容易理解，可能会对0,90和钝角的情况存在疑问。倾斜角是0,90时，斜率情况可以引导学生类比坡度解决。课本P83的标注：当为锐角时，tan（180o-）-tan，进而说明倾斜角为钝角时，也有斜率与之对应。在其分析过程中，也是对斜率概念的完善ktan(90)，为了说明倾斜角的变化对斜率的正负的影响，设置了如下练习：求下列倾斜角的正切值

（1）tan30

（2）tan60（3）tan120 （4）tan150

通过学生回答，画板验证,完成表格. 倾斜角范围

0

斜率的范围

(0,90)

90

(90,180)

2

问题：倾斜角与斜率都可以刻画直线的倾斜程度，区别是什么？

过程说明：倾斜角是角，本质是形，斜率是比值，本质是数，分别从几何和代数的角度刻画了直线的倾斜程度。

问题：怎样确定一条直线？

反之，两点确定一条直线，也就确定了直线的倾斜程度。

问题：在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，且x1x2，怎样用P1,P2的坐标来表示直线斜率k？

过程说明：有了上述分析的铺垫，两点的斜率公式是希望学生自己解决的，当然根据学生的实际情况，可适当设置问题为学生探究提供入手点。例如,可设计以下几个问题：

（1）

直线怎么分类？

（2）

斜率是比值，如何将点和比值联系起来？

（3）

对调两点的位置，斜率公式会变化吗？

（4）

直线平行或与x轴重合时，斜率公式还适用吗？

学生可能得到以下几种类型：

y . . ①

y

P2(x2,y2)

. P2(x2,y2)

. . ③

P1(x1,y1)

P1(x1,y1)

. P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

o

o ②

3

y

. ④

y P1(x1,y1)

P1(x1,y1)

. . P2(x2,y2)

P2(x2,y2)

. o

o ⑤

必要时，对推导过程进行板演：

设直线P1 P2倾斜角为（90）当直线P1 P2方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2

在RtP1P2Q中，tantanQP1P2QP2P1Qy2y1

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）tan=tan(180)tan

QP2QP1y2y1yy12

x2x1x2x1在RtP1P2Q中，tantany2y1（可让学生分组推导）

x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tanyyy2y1，即k21

x2x1x2x1（三）应用知识，巩固提高

为了让学生掌握知识，及时反馈，本节课设计了两个例题：

例1．如图，已知A(3,2)、B(4,1)、C(0,1)，求直线AB、BC、AC的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？

4

例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点，且斜率分别为1，-1,2及-3的直线.

（四）回顾总结，深化知识

1、如何确定一条直线？

2、本节课我们学到了什么知识？

3、本节课渗透了什么数学思想方法？

（五）作业布置，升华认识

1.必做题：课本第86页练习：2、3 2.选做题：课本第90页B组：5

板书设计：

直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的定义

范围[0，180）

2、直线的斜率



ktan（90）

为钝角时，

ktantan(180)tan

5 （学生展示推导斜率公式的图形）