3.3.1 两条直线的交点坐标全国优秀课堂实录

3.3.1 两条直线的交点坐标（教学设计）

教学目标

1. 知识与技能

会求利用二元一次方程组的解的情况来判断直线和直线是否相交，并能熟练地求出交点. 2. 过程和方法

1）经历两直线交点坐标的求法，会初步判断两直线位置关系：相交或平行. 2）学会用代数方程的解来研究平面中两条直线的位置关系. 3. 情感、态度和价值观

感受用代数方法研究几何问题的方便,增强学习解析几何学的信心. 教学重点，难点

重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系及利用两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系。

教学过程

（一）

复习旧知

复习直线方程的5种形式。

（二）新课引入，探究新知

思考：已知两直线l1：A1x+B1y +C1=0, l2： A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？

教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

几何元素及关系 代数表示

点A A（a，b）

直线l

点A在直线上

直线l1与l2的交点A l：Ax+By+C=0

l:AaBbC0A1xB1yC10

A2xB2yC20

设问2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？

（三）

学习新知

例1（课本P103例1）：求下列两直线交点坐标

l1

：3x+4y-2=0 l2

：2x+y +2=0

1

解：解方程组 3x4y20xy20 2得 x=-2，y=2 所以，l1与l2

的交点坐标为M（-2，2），

变式训练（课本P104练习NO：1）

1.

总结两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？

（1）

若二元一次方程组有唯一解，l1与l2

相交。

（2）

若二元一次方程组无解，则l1与l2平行。

（3）

若二元一次方程组有无数解，则l1

与l2重合。

例2（课本P103例2）

判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

（1）

l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0 （2）

l1：3x-y=0，l2：6x-2y=0 （3）

l1：3x-4y+4=0，l2：6x-2y-1=0 （4）

l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0

2.

总结判定两条直线的位置关系：

在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0. （1）lA1∥l21=B1≠C1A

2B2C2

A1B2=A2B1，

A1C2≠A2C1.

（2）lA1与l2相交1BA≠1B

22A1B2≠A2B1.

（3）l1与lA2重合1B1A==C1 2B2C2

A1B2=A2B1，

A1C2=A2C1.

（4）l1⊥l2A1A2+B1B2=0.

变式训练2（课本P104 练习NO：2）

这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

2

3.

设问3:探究：

（1）求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标

（2）问方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0 （λ为任意常数）表示的直线过M点吗？

当变化时，方程 3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标。

（1）

可以一用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。

（2）

找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。

（3）

结论，方程表示经过这两条直线l1与l2的交点且除直线l2：2x+y+2=0的所有直线的集合。

4.

直线系方程的应用

例1.

求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。

练习：无论k取何实数时，直线(k-2)x-(2k+1)y-3k=0恒过定点_____________.

例2.

求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程。

(1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。

（四）

练习巩固

（五）

课堂小结，巩固反思：

1. 求两条直线的交点坐标

2. 任意给两个直线方程，其对应的方程组得解有三种可能可能：

1）有惟一解 2）无解 3）无数多解

3. 根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系。

4. 过两直线交点的直线系（束）方程

（六）

课后作业

必做题：习题3.3 A组第1——5 题

拓展题：优化设计

课时必记：

1、判定两条直线的位置关系：

在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l1：

3

A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0. （1）lA1∥l21A=B1≠C1

2B2C2

A1B2=A2B1，

A1C2≠A2C1. （2）lA1与l2相交1A≠B1

2B2A1B2≠A2B1. （3）lA1与l2重合1B1A==C1C 2B22

A1B2=A2B1，

A1C2=A2C1.

（4）l1⊥l2A1A2+B1B2=0. 2、(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是： Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为

A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

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