3.2.1 几个常用函数的导数ppt配套教案和课堂实录

3.2.1几个常用函数的导数

教学目标

1.

能用导数的定义求函数yc，yx，yx2，y2.

利用公式解决简单的问题. 教学重点、难点

1的导数；

x1的导数；

x12．难点：能用导数的定义求函数yc，yx，yx2，y的导数. x1．重点：能用导数的定义求函数yc，yx，yx2，y教学方法

自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆. 教学过程

一

复习引入

1、函数yf(x)在xx0处导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的步骤. （1）求y，并化简；

xy化简后的式子趋于哪个定值”；

x（2）观察“x趋于0时，（3）此定值即为函数的导数. 二

新课讲授

（一）求下面几个常用函数的导数

1. yf(x)c

（以教师计算演示为主，说明根据定义求导数这种方法的具体操作过程）

yf(xx)f(x)cc0，

xxxyf(x)limlim00. x0xx0

若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止【解析】状态. 2. 求函数yf(x)x2的导数. （以教师计算演示为主，说明根据定义求导数这种方法的具体操作过程）

yf(xx)f(x)(xx)2x22xx，

【解析】

xxxyy'f'(x)limlim(2xx)2x. x0xx0y'2x表示函数yx2图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化：

（1）当x<0时，随着

x的增加，yx减少得越来越慢；

（2）当x>0时，随着

x的增加，yx增加得越来越快.

若yx表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x. 3. 求f(x)x的导数.

（学生亲自计算，并进行结果展示，老师给予评价和解决学生解答中存在的一般问题.）

2'22

yf(xx)f(x)xxx1，

xxxy'lim11.

f(x)limx0xx0y'1表示函数yx图象上每一点处的切线的斜率都为1. 【解析】若yx表示路程关于时间的函数，则y'1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 探究：在同一平面直角坐标系中画出函数y2x，y3x，y4x的图像，并根据定义，求出它们的导数. （1）从图像上看，它们的导数分别表示什么？

答：直线的斜率. （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

答：y4x增加得最快，y2x增加得最慢. （3）函数ykx(k0)增的快慢与什么有关？

答：可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 4. 求函数yf(x)1的导数. x（学生亲自计算，并进行结果展示，老师给予评价和解决学生解答中存在的一般问题.）

11yf(xx)f(x)xxxx(xx)12【解析】

，

xxxx(xx)xxxxy11y'f'(x)limlim(2)2

x0xx0xxxx1公式说明：因为y的图像时双曲线，所以图像上点(x,y)处的斜率随x的变化而变化. x1当x0时，随着x的不断增大，切线的斜率由负值不断增大，函数y的值减少得越来越慢，

x1当x0时，()；

x当x0时，与上面情况正好相反.

探究：（1）如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？

答：

kf'(1)1，所以其切线方程为yx2. 1），结果如何？

3111'

答：kf(3)，所以其切线方程为y3(x).. 939

（2）改为点（3，

（3）把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程.

（二）例题讲解

例题

已知点P（－1，1），点Q（2，4）是曲线yx上的两点，求

（1）过点P（－1，1）的曲线的切线方程；

（2）与直线PQ平行的曲线的切线方程. 【解析】y2x. （1）过点P（－1，1）的切线斜率为－2，

所以切线方程为y12(x1)，即2xy10. （2）设切点为M(x0,y0)，则y因为PQ的斜率k'xx02'2x0.

411,又切线平行于PQ，

21

所以k2x01，即x0（三）课堂练习

111，切点M(,)，

224所求直线方程为4x4y10. 1.如果函数f(x)5，则f'(1)（

C

）

A. 5

B. 1

C.

0

D.不存在

11245A. 

B.

C.

D.

4464113. 求过点(2,)与双曲线y相切的切线方程. 2x14. 求过点(1,2)与双曲线y相切的切线方程. x2.曲线yx2在点(,)处切线的倾斜角为（

C

）

三、小结

1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；

2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用. 四、课后作业

二十四：《习案》+《学案》

五、参考例题

1. 试求函数yf(x)【解析】x的导数. xxx

xyf(xx)f(x)xx(xxx)(xxx)x(xxx)1

(xxx)y11y'f'(x)limlim. x0xx0xxx2x