3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计及教案分析

第一节

平面向量的概念及线性运算

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[考纲传真]

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量

运算

定义

法则

(或几何意义)

运算律

(1)交换律：

求两个向量

和的运算

平行四边形法则

减法

求a与b的相反向量－b的

三角形法则

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) a－b＝a＋(－b) 加法

1

和的运算叫做a与b的差

三角形法则

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的求实数λ与向数乘

方向与a的方向相λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

量a的积的运同；当λ<0时，λa算

的方向与a的方向相λ(a＋b)＝λa＋反；当λ＝0时，λa＝0

λb

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(

) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

) (3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．(

) →1→→(4)△ABC中，D是BC的中点，则AD＝2(AC＋AB)．(

) →→2．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则(

) 1→4→→A.AD＝－3AB＋3AC

→1→4→B.AD＝3AB－3AC

→4→1→C.AD＝3AB＋3AC

→4→1→D.AD＝3AB－3AC

→→→3．(2017·银川质检)设点P是△ABC所在平面内一点，且BC＋BA＝2BP，则→→PC＋PA＝________. →→4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝

2

→→b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．

5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.

给出下列六个命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

→→②若AB＝DC，则ABCD为平行四边形；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；

⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中假命题的序号为________．

[变式训练1]

设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是

(

) 【导学号：31222141】

A．0

C．2

平面向量的线性运算

B．1

D．3 平面向量的有关概念

(1)(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB→→的中点，则EB＋FC＝(

) →A.BC

→C.AD

1→B.2AD

1→D.2BC

(2)(2016·广东广州模拟)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，m→→→若CD＝mBA＋nBC(m，n∈R)，则n＝(

)

3

A．－3 1C.3

1B．－3

D．3

[变式训练2]

(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边→→→→形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于(

) →A.OM

→C．3OM

→B．2OM

→D．4OM

→→→→→(2)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足PA＋BP＋CP＝0，AP＝λPD，则实数λ的值为________．

共线向量定理的应用

设两个非零向量a与b不共线，

→→→(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→

[变式训练3]

(1)已知向量AB＝a＋3b，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，则

(

) A．A，B，C三点共线

B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线

D．B，C，D三点共线

(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.

[思想与方法] 1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共

4

线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

→→3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，OA，OB不共线，→→→满足OP＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1. [易错与防范] 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

3．在向量共线的条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

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