3.1.2 导数的概念ppt课件配套教案内容

导数的概念

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P72～P76的内容，回答下列问题．

(1)气球膨胀率

4气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝3πr3，如果将半径3Vr表示为体积V的函数，那么r(V)＝4π. ①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？

r(1提示：1－0≈0.62(dm/L)．

②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？

r(2提示：2－1≈0.16(dm/L)．

③当空气容量从V1

增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？

r(V2提示：V2－V1. (2)高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. ①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度是多少？

h(0.5提示：＝0.5－0＝4.05(m/s)．

②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度是多少？

h(2提示：＝2－1＝－8.2(m/s)．

65③在t1≤t≤t2这段时间里，

运动员的平均速度

又是多少？49

h(t2提示：＝t2－t1.

2．归纳总结，核心必记

(1)函数的平均变化率

对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x2－f(x1f(x1)变为f(x2)，我们把式子x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．

习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可

Δy用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δx. (2)瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋f(t0＋Δt－f(t0Δt之间的平均变化率Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．

(3)导数的定义

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：

Δyf(x0＋ΔxlimΔx→0

Δx＝limΔx→0

Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记Δyf(x0＋Δx作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0

Δx＝limΔx→0

Δx.

[问题思考] (1)设A(x1，f(x1))，B

(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均Δyf(x2f(x1＋Δx变化率Δx＝x2－x1＝Δx表示什么？

提示：表示割线AB的斜率．

(2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？

Δy提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0，平均变化率Δx可正、可负、可为零．

(3)在高台跳水中，如何求在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度？当Δt趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

v(1＋Δt提示：＝(1＋Δt.当Δt趋近于0时，平均速度即为t＝1时的瞬时速度．

(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？

提示：①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；

Δy②联系：当Δx趋于0时，平均变化率Δx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的

瞬时变化率，它是一个固定值．

[课前反思] (1)平均变化率的定义是：

；

(2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？

；

(3)导数的定义是什么？如何表示？

；

(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？

.

求函数的平均变化率

知识点1

Δy

[思考1]

平均变化率可用式子Δx表示，其中Δy、Δx的意义是什么？

提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量．

[思考2]

如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率？

f(x2提示：平均变化率为x2－x1. 讲一讲

1．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：

(1)从0.1到0.2的平均变化率；

(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．

[尝试解答]

(1)因为f(x)＝3x2＋5，

所以从0.1到0.2的平均变化率为

3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0) 2＝3(x0＋Δx)＋5－(3x0＋5) 2222＝3x0＋6x0Δx＋3(Δx)＋5－3x0－5

＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

6x0Δx＋3(ΔxΔx＝6x0＋3Δx. —————————————————————

(1)求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．

Δyf(x2第三步，求平均变化率Δx＝x2－x1. (2)求平均变化率的一个关注点

f(x0＋Δx求点x0附近的平均变化率，可用Δx的形式．

练一练

11．已知函数f(x)＝x＋x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．

解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为

f(2－(1＋112－1＝1＝2；

f(5自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为5－3

14＝3＝15. 114因为2<15，

1所以函数f(x)＝x＋x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.