1.1.3 四种命题间的相互关系教学教案设计

第一章

§1.1

命题及其关系

1.1.3

四种命题间的相互关系

学习目标

1.了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题. 2.理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假.

问题导学

思考

分析下列四个命题，请指出命题(1)的条件和结论分别与其它三个命题的条件和结论间的关系.

(1)若α＝β，则sin α＝sin β；

(2)若sin α＝sin β，则α＝β；

(3)若α≠β，则sin α≠sin β；

(4)若sin α≠sin β，则α≠β.

答案

命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了. 命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定. 命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定. 梳理

(1)四种命题的概念

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做

，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做

，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫

做

，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的

、

、

.

(2)四种命题结构

（3）四种命题的真假性之间的关系

思考

如果原命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题一定是真命题吗？

答案

原命题是真命题，其逆否命题一定是真命题；

而逆命题、否命题不一定是真命题.

梳理

(1)两个命题互为逆否命题，它们有

真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性

思考辨析

判断正误

1.任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题.(

)

2.两个互逆命题的真假性相同.(

)

3.四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(

)

题型探究

命题角度1

四种命题的概念

例1

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.

(1)若x∈A，则x∈(A∪B)；

解

逆命题：若x∈(A∪B)，则x∈A.

否命题：若x∉A，则x∉(A∪B).

逆否命题：若x∉(A∪B)，则x∉A.

(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；

解

逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数.

否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数.

逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数.

(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.

解

逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.

否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.

逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.

反思与感悟

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和

结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.

跟踪训练1

命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是

A.若loga2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不

是减函数

B.若loga2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不

是减函数

C.若loga2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D.若loga2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

解析

直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数.

命题角度2

四种命题的相互关系

例2

若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是

A.互为逆命题

B.互为否命题

C.互为逆否命题

D.同一命题

解析

已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数.

命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，

命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，

∴r是p的逆否命题，

∴r是p的逆命题的否命题，故选B.

反思与感悟

判断四种命题之间四种关系的两种方法

(1)利用四种命题的定义判断.

(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系.

跟踪训练2

已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是____________________________________.

解析

由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.

例3

下列命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.

其中是真命题的是________.

解析

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；

③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.故填①②③.

反思与感悟

要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.

跟踪训练3

下列命题为真命题的是

①“正三角形都相似”的逆命题；

②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；

③“若x－

是有理数，则x是无理数”的逆否命题.

A.①②③

C.①②

B.②③

D.①③

解析

①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题.

②原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”.∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题.

③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为②③，故选B.

例4

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.

解

方法一

原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：

二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，

令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，

则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.

因为a<1，所以4a－7<0，

即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题.

方法二

利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.

因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

7即4a－7≥0，解得a≥4>1，

所以原命题为真，故其逆否命题为真.

引申探究

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x

＋a2＋2>0的解集为R，则a<

”的逆否命题的真假.

解

先判断原命题的真假如下：

因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，

7所以a<4.

所以原命题是真命题.

因为互为逆否命题的两个命题同真同假，

所以原命题的逆否命题为真命题. 反思与感悟

(1)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.

(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视.

跟踪训练4

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

证明

命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.

由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，

显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题.故原命题得证

达标检测

1.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是

A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0

B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0

D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

解析

原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”.

∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.

2.下命题中为真命题的是

A.命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题

B.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

C.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

πD.命题“若tan x＝3，则x＝3”的逆否命题

解析

对于A，命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题是“若ab>0，则a，b都大于0”，是假命题，如a，b都为负数时ab>0也成立；

对于B，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题是“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，如x＝－2；

对于C，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，是真命题

π对于D，命题“若tan x＝3，则x＝3”是假命题，故其逆否命题也是假命题.故选C.

3.给出以下四个命题：

①若ab≤0，则a≤0或b≤0；

②若a>b，则am2>bm2；

③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；

④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根.

其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是

A.①

C.③

B.②

D.④

解析

对于①，原命题：若ab≤0，则a≤0或b≤0，是真命题；逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0，是假命题；否命题：若ab>0，则a>0且b>0，是假命题；逆否命题：若a>0且b>0，则ab>0，是真命题.

对于②，原命题：若a>b，则am2>bm2，是假命题；逆命题：若am2>bm2，则a>b，是真命题；否命题：若a≤b，则am2≤bm2，是真命题；逆否命题：若am2≤bm2，则a≤b，是假命题.

对于③，原命题：在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B，是真命题；逆命题：在△ABC中，若A＝B，则sin A＝sin B，是真命题；否命题：在△ABC中，若sin A≠sin B，则A≠B，是真命题；逆否命题：在△ABC中，若A≠B，则sin A≠sin B，是真命题.

对于④，原命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根，是假命题；逆命题：在一元二次方程ax2＋bx

＋c＝0中，若方程有实数根，则b2－4ac<0，是假命题；否命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac≥0，则方程无实数根，是假命题；逆否命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若方程无实数根，则b2－4ac≥0，是假命题. 综上，以上命题中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是③.故选C.

4.下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.

其中互为逆命题的有_______________；互为否命题的有______________；互为逆否命题的有_______________.

解析

命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；

命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；

命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断.

5.已知命题“若m－1

则m的取值范围是______.

解析

命题：“若m－1

m－1≤1，∴由m＋1≥2，

得1≤m≤2.

小结

1.写四种命题可以按以下步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q.

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q.

(3)按照四种命题的结构写出所有命题.

2.判断命题的真假可以根据互为逆否命题的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.