1.1.1 命题教案设计

第一章

§1.1

命题及其关系

1.1.1

命

题

衡阳县四中数学组

黄昭龙

学习目标

1.理解命题的概念. 2.会判断命题的真假. 3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.

问题导学

知识点一

命题的概念

思考1 在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？

对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题. 思考2 依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题. ①三角形外角和为360°；

②连接A、B两点；

③计算3－2的值；

④过点A作直线l的垂线；

⑤在三角形中，大边一定对的角也大吗？

解答：根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题. 梳理

(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”.我们学习过的定理、推论都是命题. (3)分类

真命题：判断为

的语句命题

假命题：判断为

的语句知识点二

命题的结构

思考1 在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？

命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常可以写为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论.

思考2 完成下列题目：

(1)命题“等角的补角相等”：题设是等角的补角，结论是相等. (2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果一个数是实数，那么它的平方是非负数”. 梳理

(1)命题的一般形式为“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

. (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式.

题型探究

类型一

命题的判断

例1

(1)下列语句为命题的是

A.x－1＝0

B.2＋3＝8 C.你会说英语吗？

D.这是一棵大树

解答：A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；

B中2＋3＝8是命题，且是假命题；

C不是陈述句，故不是命题；

D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)下列语句为命题的有_____. ①一个数不是正数就是负数；

②梯形是不是平面图形呢？

③22015是一个很大的数；

④4是集合{2，3，4}中的元素；

⑤作△ABC≌△A′B′C′

解答：①是陈述句，且能判断真假；

②不是陈述句；

③不能断定真假；

④是陈述句且能判断真假；

⑤不是陈述句. 反思与感悟

判断一个语句是否是命题的三个关键点

(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题. (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题.

(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题. 跟踪训练1

给出下列语句，其中不是命题的有_______. ①2是无限循环小数；

②x2－3x＋2＝0；

③当x＝4时，2x>0；

④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？

⑤一个数不是奇数就是偶数；

⑥2030年6月1日上海会下雨. 解答：②⑥不是命题，因为该语句无法判断其真假；

④为疑问句，故④不是命题. 类型二

命题真假的判断

例2

给定下列命题：

①若a>b，则2a>2b；

②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；

π③直线x＝2是函数y＝sin x的一条对称轴；

→→④在△ABC中，若AB·BC>0，则△ABC是钝角三角形. 其中为真命题的是_______. 解答：结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；

π而函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题；

2→→→→→→又因为AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)＝－|AB||BC|cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题. 反思与感悟

一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可.

跟踪训练2

下列命题中假命题的个数为

①多边形的外角和与边数有关；

②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；

③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；

④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0. A.1

B.2

C.3

D.4

解答：因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例. 类型三

命题结构形式解读

例3

将下列命题写成“若p，则q”的形式. (1)末位数是0或5的整数，能被5整除；

解答：若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除. (2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根. 解答：若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根. 反思与感悟

把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么.

跟踪训练3

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假. (1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；

解答：若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题. (2)负数的立方是负数；

解答：若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题. (3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2. 解答：已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.是假命题.

当堂训练

1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是

A.两个平面

B.一条直线

C.垂直

D.两个平面垂直于同一条直线

解答：所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D. 2.下列命题是真命题的为

11A.若a>b，则a

B.若b2＝ac，则a，b，c成等比数列

C.若|x|

11解答：选项A，只有当a>b且ab>0时，才能得到<；

ab选项B，令a＝b＝c＝0，此时显然不是等比数列；

选项D，若a＝b<0，则结论显然不成立，故选C. 3.命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为_________________. a≠0，a≠0，a≠0，解答：据题知即得

Δ>0，4－4a>0，a<1，故a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1). 4.命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为______________________. 解答：由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，

即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4. 5.命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围. 解答：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论. 当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；

当m>0，且Δ＝m2－12m<0，

即00恒成立，

所以0

课堂小结

1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.