3.1直线的倾斜角与斜率（通用）课时教学实录

3.1.1

直线的倾斜角与斜率（第1课时）

重庆市渝北中学校

叶良田

教学目标

一、知识与技能

1.

正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；

2.

斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

二、过程与方法

经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法.

三、情感、态度与价值观

1.

通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；

2.

通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

教学重点、难点

教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学难点：斜率的计算方法.

教学关键：直线斜率的两种计算方法.

教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法.

教法与学法引导

教学方法：启发、引导、讨论.

学习方法：探究、思考、讨论、练习.

教学准备

教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）.

学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值.

教学过程

详见下页表格.

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一创设点P的直线l的位置能确定吗？如情景

图，过一点P可作无数多条直线a，导入b，c，…易见，答案是否定的，这新课

些直线有什么联系呢？

1．直线倾斜角的概念

当直线l与x轴相交时，取x概念轴作为基准，x轴正向与直线l向形成

上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0.

学生回答（不能确定）

（1）它们都经过点P.

（2）它们的倾斜程度不设疑激趣导同.

入课题．

接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.

教师提问：

倾斜角的取值范围是什么？0°≤α＜180°

当直线l与x轴垂直时90

（由学生结合图形回答）

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

y 概念深化

O a b c x 教师提问：

如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？

学生回答后作出结论.

一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出确定一条直线位置的几何要素.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.

通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素．

2．直线的斜率

教师提问：（由学生讨一条直线的倾斜角论后回答）

（≠90°）的正切值叫做这条直线（1）当直线l与x轴的斜率.斜率常用小写字母k表示，平行或重合时，k为多少？

设疑激发学概念即ktan.

k = tan0°= 0.

生思考得出形成

由此可知，一条直线l的倾斜（2）当直线l与x轴结论．

角一定存在，但是斜率k不一定垂直时，k还存在吗？

存在.

例如= 45°时，

，k不存在.

= 90°k = tan45°= 1；

时，

k = tan135°= –1 .

= 135°

续上表

教师提出问题：

yy1给定两点P1 （x1，y1），k2.

x2x1P2

（x2，y2），x1≠x2，如何对于上面的斜率公式要注意用两点的坐标来表示直线下面四点：

P1、P2的斜率？

（1）当x1 = x2时，公式右边可用计算机作动画演无意义，直线的斜率不存在，倾斜示：直线P1P2的四种情况，概念角= 90°，直线与x轴垂直；

并引导学生如何作辅助形成

（2）k与P1、P2的顺序无关，线，共同完成斜率公式的即y1、y2和x1、x2在公式中的前后推导.

次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

3．直线的斜率公式

借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.

（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合；

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

例1

已知A （3，2），B

（–4，1），C （0，–1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）

【分析】已知两点坐标，而且x1

≠ x-2，由斜率公式代入即可求得应用k的值；

举例

而当ktan0时，倾斜角是钝角；

而当ktan0时，倾斜角是锐角；

而当ktan0时，倾斜角.

是0°

续上表

例2

在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.

【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.

例2

略解：设直线a上的另一个点M的坐标为（x，y），根据斜率公式有1 = （y

– 0）/（x

– 0），

所以

x = y.

可令x = 1，则y = 1，于是点M的坐标为（1，1）.

此时过原点和点M（1，1），可作直线a.

同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）

学生分析求解

，教师板书

例1

略解：直线AB的斜率k1

= 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.

直线BC的斜率k2

= –0.5＜0，所以它的倾斜角是钝角.

通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义

（1）直线的倾斜角和斜率的概念.

小结

（2）直线的斜率公式.

师生共同总结交流完善.

引导学生学会自己总结.

课堂作业

1.

求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.

（1）（1，1），（2，4）；

（2）（–3，5），（0，2）；

（3）（2，3），（2，5）；

（4）（3，–2），（6，–2）

【解析】（1）k（2）k4130，所以倾斜角是锐角；

212510，所以倾斜角是钝角；

0(3)（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°；

（4）k2(2).

0，所以倾斜角为0°632.

已知点P(3,1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为

.

【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为（0，b）

直线PQ的斜率k = tan120°= 3，

∴k

b10(3)2)

3

，

∴b = –2，即Q点坐标为(0，.