1.2.1 充要条件教学设计

充要条件

教学设计

●教学目标

（一）教学知识点

1．充要条件的概念．

2．判断命题的条件的充要性的方法．

3．把充要条件的思想自觉地运用到解题之中．

（二）能力训练要求

1．理解并掌握充要条件的概念．

2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．

3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．

●教学重点

1．理解充要条件的意义．

2．命题条件的充要性判断．

●教学难点

命题条件的充要性判断．

●教学过程

Ⅰ．复习回顾

2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件? （1）若a是无理数，则a＋5是无理数．

（2）若a＞b，则a＋c＞b＋c．

（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．

Ⅱ．讲授新课

§1.2.2 充要条件

一般地，如果既有

p⇒ q，又有q ⇒p，就记作：“p

q，”“ ”叫做等价符号，

“p q”表示“p

q，且q

p”．

这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件．

命题（1）中因：a是无理数，

a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数

a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分必要条件．

命题（2）中因“a＞b a＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋c a＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．

命题（3）中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根

Δ＞0”，又有

“Δ＞

“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．”

则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．

例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件．

（1）p：b＝0，

q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（充要条件）

（2）p：x＞0,y＞0，

q：xy＞0；（充分不必要）

（3）p：a＞b，

q：a＋c＞b＋c；（充要条件）

（4）p：两直线平行；

q：两直线的斜率相等.（必要不充分）

例2. p：x∈{x|－1

q：x∈{x|a≤x≤a2+1 }，若p是q的充分条件，求a的取值范围. 解：p是q的充分条件，可得a2+13且a1，解得：a2。

例3 求证：|x|＋|y|＝|x＋y|的充要条件是xy≥0.

分析：充分性即证：xy≥0 ｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，必要性即证：

｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜

xy≥0．

证明：①充分性．

若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0．

此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．

若xy＞0，则x，y同号．

当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜．

当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜

综上所述，xy≥0

｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．

②必要性

∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R ∴（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2

即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜+·y2

xy＝｜xy｜

xy≥0．

因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜

xy≥0．

故xy≥0

｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．

评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”．

也就是需证明充分性：q p；必要性p q不能颠倒证反”．

注：本题也可用绝对值的概念证明：

｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜

｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2

x2＋2xy＋y2

＝x2＋2｜xy｜＋y2

｜xy｜＝xy xy≥0．

故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜

课堂小结：

1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件. 2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性. 3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.

充要条件作业

1、指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

（在“①充分而不必要条件”“②必要而不充分条件”“③充要条件”“④既不充分又不必要条件”中选出一种）?填写序号

（1）p：（x－2）（x－3）＝0，q：x－2＝0 （2）p：同位角相等，q：两直线平行．

（3）p：x＝3，q：x2＝9．

（4）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

答案: (1) ____________(2)____________ (3) ___________ (4) ___________

2、设集合M＝{x｜x＞2}，P＝{x｜x＜3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件? 解：由“x∈M或x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x｜2＜x＜3}．

则由x∈P，即x∈{x｜x＜3}，有

x∈{x｜2＜x＜3}．但由“x∈{x｜2＜x＜3} 有x∈{x｜x＜3}，即x∈P．

故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．

3、若已知A是B的充分条件，C是D的必要条件，而B是D的充要条件，则D是C的

_______条件；D是A的__________条件；A是C的__________条件，D是B的__________条件．