3.1直线的倾斜角与斜率（通用）PPT及课堂实录内容

直线的倾斜角与斜率（第一课时）

授课教师：翁文惠

数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。

——华罗庚

一、教材分析：

本节的教材出处是必修2第三章《直线与方程》中《3.1.1直线的倾斜角与斜率》。这是解析几何第一课时。解析几何的基本思想和方法在这一节中都得到适当的体现，教学内容有倾斜角、斜率的概念，还包含了坐标法、数形结合思想等。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

综上，从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑，斜率概念是本课时的核心概念。

二、教学目标与教学重难点：

【教学目标】

1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握直线倾斜角和斜率的定义、范围；

2、掌握过两点的直线的斜率公式及应用；

3、培养学生运用代数方法解决几何问题的思想和能力，在自我探索斜率坐标公式的过程中培养学生的自学能力。

【教学重点】本节的重点是直线的倾斜角与斜率的概念过两点的直线斜率公式。

【教学难点】本节的难点是对直线倾斜角与斜率概念的理解，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。

三、教学方法：启发引导法、讲练结合

四、教具：三角板、多媒体辅助教学

五、教学过程

【环节一】倾斜角概念的形成

问题1：平面几何中，确定直线的条件是什么？对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？ （设计意图：引导学生复习初中学过的相关知识，寻找本课时学习内容的固着点、生长点。）

y 问题2

：直线的倾斜角是如何定义的？

l 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把 x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫做直线l的倾斜α

角。通常倾斜角用α表示。

规定:当直线l和x轴平行或重合时它的倾斜角为0。

问题3：由定义，倾斜角的范围是什么？

动画演示倾斜角的变化过程。

由此推导在直角坐标系中，直线绕直线与x轴交点旋转，它对x轴正y y 0 O x 图1 y 方向有四种情形。

α

O x

y 第1页

. x α

x α

x

【结论】直线的倾斜角的范围0180

思考：1.是否平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角？

2．倾斜程度相同的直线，其倾斜角有何关系？

3．倾斜程度不同的直线，其倾斜角有何关系？

4．平面内任何一条直线是否都有倾斜角？ 倾斜角的意义：平面内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不等。因此，直线的倾斜角表示平面内一条直线的倾斜程度。确定直线位置的的几何要素：直线上一点以及他的倾斜角，二者缺一不可。（设计意图：研究的重点是定义的形成，通过这个问题引导学生研究所有直线与其倾斜角的关系，将定义具体化，全面化，同时得到倾斜角的意义。）

00【环节二】斜率概念的形成

问题4：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（坡度比）

m 1 n 1

（1）对于生活中斜坡，我们是用什么量刻画它的倾斜程度？（坡角与坡度）

（2）坡度定义是什么？

坡度（3）斜坡铅直高度tan(为坡角)

水平长度迁移平面直角坐标系中的直线

对应直线的倾斜角 坡角坡度直线的斜率。

对应问题5：直线的斜率是如何定义的？

0定义：倾斜角不是90的直线，它的正切叫做这条直线的斜率．记作k，即ktan

。

当倾斜角90时，直线的斜率不存在。

思考：1.直线的斜率能否反映直线的倾斜程度？ 2.是否所有的直线都有斜率？

o o o o选取一些数据如倾斜角为：30，150，60，120等，计算相应直线的斜率。并分析直线的倾斜角不同时， o直线的斜率取值是否也不同，在此基础上总结斜率的意义。（提示：当α为锐角时，tan（180-α）=-tanα。）

o

o倾斜角α是90的直线没有斜率；倾斜角α不是90的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越小倾斜角越大。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。

（设计意图：引导学生通过有代表性的具体实例的分析，利用“提示”中的知识，结合初中学过的正切值，第2页

了解斜率取值的特点，渗透分类讨论点思想总结出斜率的意义。）

【环节三】直线上两点的斜率公式的推导

确定直线的两个条件——点和倾斜角（或斜率）中的点可以用坐标表示，倾斜角已经代数化为斜率。在引言中已经谈到，解析几何的基本方法就是坐标法，因此要利用倾斜角和斜率对直线进行进一步的代数化的研究必须建立斜率的坐标表示方法。

问题6：我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率呢？

问题转化为：已知直线l上两点P1(x1,

y1), P2(x2, y2)

（其中x1≠x2）的坐标，如何求出直线P1 P2的斜率k？

（设计意图：逐步实践坐标法。）

分析：解决这个问题需要分类求解，首先是对于特殊直线，与x轴垂直或平行（重合）的直线进行分析求解。对于其他直线分类的依据是两点在直线上位置以及直线的倾斜角是锐角还是钝角。所以二级分类共得到四种不同的情况，如图4所示。分类求解。

解决的具体思路是：先就图2（1）求解，再变式为图2（2），比较异同求解；之后就图2（3）求解，再变式为图2（4），类比求解。

y y P2

P2

P1

α

Q

θ

P1

Q

α

α

θ

O O x x

(1) (3)

y y

P1

P1

P2α

Q

θ

P2

Q

α

α

θ

O O x x (2)

(4) 图2 解：若直线PP12的方向向上时，

当为锐角时，QPP12,x1x2,y1y2.

在RTQPP1212中，ktantanQPP|QP2|y2y1

|PQ|xx121当为钝角时，1800(QPP12),x1x2,y1y2.

0在RTQPP12中，ktantan(180)tanQPP12|QP2|yyyy2121

|PQ|x1x2x2x11思考：1、与所取的点的坐标是否有有关，与所取点的先后顺序是否有关？

2、当直线与坐标轴平行或重合时,斜率又怎样？

（设计意图：辨析公式。）

结果：综上所述，我们得到经过两点的直线的斜率公式是：ky2y1(x1x2)。

x2x1【环节四】例题分析，应用理解

例1、如图5，已知A(3，2)，B(-4，1)，C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

y

第3页

B O A x

（设计意图：巩固本课时所学的基本知识。）

【变式】

过A点的直线l与线段BC有交点,求l的斜率k的变化范围。

（设计意图：提高学生的观察能力。）

图5

例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线。

（设计意图：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。）

【环节五】归纳小结

问题7：（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？它们之间有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度，到斜率 (数)也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

知识方面：倾斜角的定义，斜率的定义和利用坐标求斜率的公式及其适用范围；

方法：坐标法；

数学思想：数形结合，分类讨论，化归等数学思想；

经验：今天所学的知识都是源于已有的知识经验，倾斜角是角概念基础上学的，斜率是在坡度、单调性、平均速度概念基础上进一步坐标化得到的。所以在学习过程中要注意知识间的联系。

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