3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学内容概述

3.1直线的倾斜角与斜率

作课人：刘晓娟

一、教学目标

1、知识目标：让学生理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。

2、能力目标：培养学生的数形结合思想、分类讨论的思想及公式应用能力。

3、情感目标：通过创设问题情景和多媒体教学，让学生在参与中感受和体验数学美，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

二、教学重点：直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。

教学难点：斜率概念的学习和过两点的直线的斜率公式的推导。

教学方法：探究式教学。

教具：多媒体。

三、教学过程

（一）新课引入

师：我们知道，两点确定一条直线，一点能确定一条直线的位置吗？

生：不能，经过一点有无数条直线。

师：这些直线都经过点P，区别在哪里呢？

y120o．

P

3045x

生：它们的倾斜程度不同。

师：怎样描述直线的倾斜程度呢？这就需要我们今天来学习直线的倾斜角与斜率。

（二）讲授新课

1、直线的倾斜角

（1）定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所l 成的角

叫做直线的倾斜角（angle of inclination）。

B



oP A

注意：

①直线向上方向；②x轴的正方向。

x

轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为

0

，因此，（2）、直线倾斜角的范围：当直线

l

与

直线的倾斜角的取值范围为：0







180

（几何画板演示，师生共同得到直线倾斜角的范围。）

（3）、直线倾斜角的意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度，

在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。

（4）、如何才能确定直线位置？一个定点和倾斜角就能确定一条直线。

2、直线的斜率

yx

如图,日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即

坡度(比）升高量前进量类比坡度得到直线斜率的定义。

（1）

斜率定义：

我们把一条直线的倾斜角



的正切值叫做这条直线的斜率(slope)。

A 用小写字母

k

表示，即：k



tan

a

前进量

例如：

a30ktan303a150ktan303

33思考：当直线与

x轴垂直时，直线的倾斜角是多少？

a90tana(不存在),即k不存在.师生共同作出

k



tan

a

(



90

0

)

的图像，由此得到斜率与倾斜角之间的关系。

（2）斜率k与倾斜角



之间的关系：



a

0



k



tan

0



0

0a90ktana0

a90tana(不存在)k不存在

90a180ktana0例1.判断正误： ①直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan。 ②直线的斜率值为 tan，则它的倾斜角为 。

③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。 ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在。 学生分组讨论，教师给予指导并讲解。

牛刀小试

l2 图中的直线

l1

,

l2

,

l

3的斜率

k

1

,

k

2

,

k

3

的大小关系为

k

1﹤

k

3﹤

k

2

（3）探究：如何由两点坐标计算直线的斜率

l1

y锐角

y钝角

y

2P2(x2,y2)

P

yy2(x2,y2)Q(x2,y1)21

P1(x1,y1)P1(x1,y1)

y1Q(x2,y1)

ox1x2xox1x2x

思考？

当

p

1、

p

2

的位置对调时, k值又如何呢？

C

升高量

B l3

y P1(x1,y1)y P2(x2,y2)Q(x1,y2)P1(x1,y1)Q(x1,y2)P2(x2,y2)o

x o x

（学生合作交流，自主探究，然后派学生代表上黑板讲解。）

综上所述，我们得到经过两点

P

1

(

x

1

),

P

2

(

x

2

1



x

2

)的直线的斜率公式：

,

y1,

y

2

)

(

x

yy1yy(或k12)

k2x2x1x1x2

练习：求经过点A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的斜率和倾斜角。



y0

即

tan解：

y

3









1

k211

x2x152



1350180

135。

∴直线的斜率为-1，倾斜角 （三）课堂小结

1、直线的倾斜角定义及其范围： 0180。

ktana(a90)2、直线的斜率定义： 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：

4、斜率公式：经过两点

P

2

(

y

的直线的斜率公式：

x

2,1(x1,y1),P2)(x1x2)

yy1yy(或k12)

k2x2x1x1x2

（四）作业

课本86页练习1～4题

《三维设计》61、62页