1.2.3 空间几何体的直观图优质课教案内容

1.2.3

空间几何体的直观图

三维目标

知识与技能：

（1）使学生掌握三视图的作图原理；

（2）使学生掌握利用三视图求体积、表面积的问题。

过程与方法：

通过让学生结合现实中的实例，理解三视图的成图原理，从而掌握求有关三视图问题的方法，激发学生学习的兴趣，．

情态与价值：

培养学生探索精神和用发展的眼光看世界．

重点难点

教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图. 教学难点：直观图和三视图的互化. 教学过程

一、复习：

（1）什么叫中心投影、平行投影、斜投影、正投影？

（2）三视图采用何种投影？三视图指哪三种视图？画三视图要注意什么？

说明：三视图在工程制图中被广泛采用，但其直观性较差，因此，在绘制物体的直观图时，一般采用斜投影或中心投影。

三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，如何绘制空间图形的直观图呢？

立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法．

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二、合作探究

提出问题

（一）水平放置的平面图形的画法

思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？

思考2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？

例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图. 讨论结果：①画法：1°如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°. 2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=1MN.以点N′为中点2画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF. 3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.

图1 【提升总结】

斜二测画法的步骤

1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.

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2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y. 3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

思考3:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？

(二) 空间几何体的直观图的画法

思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？

例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图. 画法：1°画轴.如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.

图2 2°画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ，使PQ=3cm.分别过点M2和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. 3°画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′. 4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图. 点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感. ④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是：

1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy=90°,∠

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yOz=90°. 2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y. 3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. 4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 斜二测画法的作图技巧: 1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等. 2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出. 3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图. 例3 如图已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征.教师分析：

由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.

解：画法：

（1）画轴.如图5（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (1) (2)

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图5 （2）画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面⊙O.在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′（与画⊙O一样）. （3）画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度. （4）成图.连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕. 点评：

空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.

（三）课堂训练

1．下列关于直观图的说法不正确的是(

) A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变

B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变

C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成135°

D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同

2．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则(

) A．A′B′＝2C′D′ B．A′B′＝C′D′

1C．A′B′＝4C′D′ D．A′B′＝C′D′

23．长方形的直观图可能是下列图形中的哪一个

(

)

A．①②

C．①④⑤

B．①②③

D．②⑤

4.已知一四边形ABCD的水平放置的直观图A'B'C'D'是一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真实图形.并计算真实图形的面积.

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（四）课堂小结

空间几何体的直观图的特点: 1. 保持平行关系和竖直关系不变．

2. 保持水平长度和竖直长度不变；

3. 纵向长度取其一半．

三视图与直观图的异同

两种视图

相同点与联系

不同点

都是空间几何体的表现形式，已从三个不同位置观察得出的是三视图，它三视图

知一种形式可转化为另一种形能体现各部分的准确比例．

式．三视图需有一定的空间想象

能力才能看懂，供较专业的人们从一个位置观察而得出的是直观图，它能直观图

使用.

直观地体现几何体的形状，但某些方向上的尺寸失真.

（五）作业

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