探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教学内容分析

《椭圆及其标准方程（一）》教学设计

一．教材及学情分析：

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修2－1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时．在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．

在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．在选修2-1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．

二．教学目标：

1．知识与技能目标：

(1)掌握椭圆的定义及其标准方程。

(2)了解椭圆的标准方程的推导及化简过程同时提高学生的运算能力。

(3) 能够依据条件求出椭圆的标准方程

2．过程与方法：

（1）经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力

（2）学会用坐标化的方法求动点轨迹方程

3．情感态度价值观目标：

（1）充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识

（2）重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣

（3）通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风

（4）通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美

三．教学重、难点

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程；会用待定系数法求椭圆标准方程。

难点：椭圆标准方程的推导与化简

四．教法

本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．

五．学法

遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。采用了以问题的提出、问题的解决为主线；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展。

六．教学准备

一个PowerPoint课件，画椭圆工具（两颗图钉、一根细绳，一张白纸,一块木板）。

七.课型

新授课

八．教学过程

教学

教学

师生活动

设计意图

环节

内容

（一）

欣

赏

宇航员们乘坐着宇宙飞船进入太空，它们的运行轨图

认

让学生对椭圆有一个感性迹是椭圆展示太阳系各大行星运行图片，初步给出片

识

的认识，为此产生学习的椭圆的表面映象认识。这样有助于吸引学生的注意，

椭

兴趣及学习椭圆的必要力。然后再借助图片展示现实生活的椭圆形实物，情

圆

性。

进一步加深对椭圆的表面映象认识。

景

引

入

设计一个实验，一来是为实际生活中这样的图形很多，如何用现有的工具画

了给学生一个动手实验的出图形？谁能画出最漂亮、最完美的的一个椭圆

机会，让学生体会椭圆上呢？

椭

点的运动规律；二是通过首先让学生回顾圆的轨迹形成过程.然后提出问题让

圆

实践思考，为进一步上升学生分组试验:(1)取一条细绳；(2)把细绳的两端用图

的

到理论做准备

定

钉固定在板上的两点、；(3)用粉笔尖（）把

义

注重概念形成过程，通过细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什

的

让学生亲自动手，培养学么？（教师巡视指导，展示学生成果）

探

生的观察、归纳、概括能改变两个点的位置，思考形成什么图形？

力。通过学生观察、思考、（二）

究

得出结论:

讨论，概括出椭圆的定义，绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).

合

让学生全程参与概念的探

（1）当2a>2c时，轨迹是

；

作

究过程，加深理解，提高

（2）当2a=2c时,轨迹是

; 探

椭

概括能力和数学语言的表

（3）当2a<2c时,

究

圆

达能力.

[学生讨论、作答] ，

的

尝试定义：

获

定

问：椭圆如何定义？

得

义

[学生讨论、作答] 新

进一步强化椭圆定义，真椭圆定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等知：

正使学生理解掌握定义。

于_____（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。

焦点: F1、F2

焦距

：| F1F2 |

(1) 首先让学生回顾求曲线方程的基本步骤：建系、 椭

设点、列式、坐标化、化简。

圆

（2)推导椭圆的标准方程

的

建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方进一步熟悉用坐标法求动标

程更简洁？——利用椭圆的对称性特征

点轨迹方程的方法

准

方

程

的

推

导

椭

圆

的

标

方案1以两定点的连线为X轴其垂直平分线为Y轴

方案2以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X 轴

以方案1为例推导：

学生动手完成推导过程,教师巡视适时点拨.

以直线为轴，以线段的垂直平分线为

轴，建立平面直角坐标系．设焦距为

，则

掌握化简含根号等式的方．设为椭圆上任意一点，点法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神和学与点的距离之和为．

习品质. 动点满足的几何约束条件:

坐标化：

化简：化简椭圆方程是本节课的难点，

突破难点的方法是引导学生思考如何去根号,巡视学 生的推导过程，适时给与指导，展示学生的推导过 程，并给与讲解，最后教师引入一个量b，

由椭圆定义可知，2a>2c, 即a>c,

∴a2－c2>0,设b2= a2－c2 (b>0), 得

感受数学的简洁美、对称

b2x2+ a2y2= a2 b2

两边除以a2

b2得方程简化为：美

(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程,让学生课下 推导，

准

直接给出方程：焦点在轴上的椭圆的标准方程为

方

程

(4)展示表格两种方程并进行比较记忆: 通过对比总结，强化不同

类型的方程的异同，从而辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异

深化学生对椭圆标准方程同点（学生分组讨论，个别发言）

的理解。抓住数学形式的区

一致性，体会数学的严谨。

小试身手: 让学生对所学知识得以简单应用,加深对定义和方程

的记忆

巩固并加深对椭圆定义及学生思考并举手回答。

标准方程理解

典例分析：

（三）

椭

例1.求出适合下列条件的椭圆的标准方程: 例

圆

已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)， 题

定

椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

研

义

变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，

结 讨

与

果如何？

标

提醒学生在解题时先要根,

变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆点

准

据焦点位置判断使用哪种拨

方

上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？

形式的椭圆标准方程

精

程

掌握待定系数法在求椭圆(学生思考并举手回答) 析

的

标准方程中的应用，深化例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), 简

a、b、c 的关系。

单

充分让学生动手、动脑。

53(,)应

2,求它的标准方程. 及时反馈，强化知识点的(2,0), 并且经过点2用

学习。

让学生讨论交流，教师巡视指导。两种方法解答问

题。一名学生讲解，教师板书，强调书写规范。

学生回顾解题过程并总结求椭圆标准方程的解题步

骤并回答，教师补充。

一定，二设，三求，四写。

练习反馈

(四)

1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2

(4,0)的距离和是10，达

则动点P的轨迹为（

）

标

检

A.椭圆

B.线段F1F2

C.直线F1F2

D.无轨迹通过练习，检测一下学生测,

对所学知识的掌握情况，巩

并得以回顾。

固

提

高

x2y2

2.已知椭圆+2=1m0的左焦点F14,0,则25m

m=(

)A.9

B.4

C.3

D.2

22xy3.已知F、F是椭圆 的两个焦点，过F1 121169的直线交椭圆于M、N两点，则三角形MNF的周长2为 . 4.椭圆的两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），35则椭圆的标准方程 并且经过点P ,，

22________________. 让学生独立完成，教师巡视并观察做题情况，给与指导。

教师让学生回顾这节课所学的内容，最后教师总结。

一个定义：|MF|+|MF|=2a>2c 12

通过小结，使学生理清这22x2y2yx节课的所学的内容。

两个方程：

221 1 ab022abab

一个方法：求椭圆标准方程的方法

三个意识：求美意识，

求简意识，

归纳的意识。

(五) 回

顾

总

结

, 提

高

认

识

九．板书设计

§2.2.1椭圆及其标准方程

一、定义：

（大于点焦距=2c 二、标准方程：

焦点在X轴：

三．典例分析

【例1】

）焦 【例2】

四．当堂检测

五．课堂小结

焦点在Y轴：

【关系】