1.4.1 全称量词PPT配套教学设计内容

普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学》选修2-1

§1.4 全称量词与存在量词

1.理解全称量词与存在量词的意义. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 3.会判断全称命题和特称命题的真假.

探究任务1：

全称命题

全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；

含有全称量词的命题，叫做全称命题

. 全称命题p :x∈M, p(x)，

读做“对任意x属于M，有p(x)成立”

例如：

⑴所有有中国国籍的人都是黄种人；

x∈R,

x＞3 ; 判断真假：

⑴所有有中国国籍的人都是黄种人；

x∈R,

x＞3 ; 解：

（1）存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．

（2）存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．

（至少有一个x0∈Ｒ, x0≤３）

这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“

探究任务2：

特称命题（或存在命题）

存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；

特称命题p :

”表示。

x0∈M,

p(x0)，

读做“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”

例如：

（1）某些平行四边形是菱形；

（2

x∈R,

x2＋1＜0.

探究任务3：

全（特）称命题的否定

例1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）x∈R,

x2－2x＋1≥0。

（4）有些实数的绝对值是正数；

（5）某些平行四边形是菱形；

（6）x0∈R,

x02＋1＜0。

命题（1）的否定是: “并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；

命题（2）的否定是: “并非每一个素数都是奇数”，

也就是说，存在一个素数不是奇数；

命题（3）的否定是:x∈R,

x2－2x＋1≥0”，

x0∈R,

x2－2x＋1＜0；

前三个命题都是全称命题，即具有形式

xM,p(x)发现：全称命题的否定都变成了特称命题

命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，

所有实数的绝对值都不是正数；

后三个命题都是特称命题，即具有形式“

x0∈M,

p(x0) 命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，

也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；

命题（6）的否定是“不存在x∈R,

x2＋1＜0x∈R,

x2＋1≥0；

发现：三个特称命题的否定都变成了全称命题

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：x∈M, p(x)，

它的否定￢P：

x0∈M, ￢p(x0)

特称命题P：

x0∈M, p(x0)，它的否定￢P：x∈M, ￢

p(x0) 即：含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定

三、典型例题：

例2：

[2014·福建卷] 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(

) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0

B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0

D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0

[解析] “∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，

其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”，故选C.

（15年新课标1理科）设命题P：n0N，n20>2n0，则P为

（A）nN, n2>2n

（B）nN, n2≤2n

（C）nN, n2≤2n

（D）nN, n2=2n

解：特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论

，故选C.

探究任务4：

全（特）称命题真假的判断方法

∀x∈R，x2＋1＞0 (真) x,y∈R,sin(x－y)＝sinx－siny (真) 例3.已知命题p：∀a∈R，且a>0，a＋1a≥2，

命题q：∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝3，则下列判断正确的是(A．p是假命题

B．q是真命题

C．p∧(﹁q)是真命题

D．(﹁p)∧q是真命题

[解析] 依题意可知，命题

p为真，命题

q 为假，故选C.

)

三、课堂小结：

1.含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．

2. 判断全称命题和特称命题的真假.

四、课后练习：

[2014·重庆卷] 已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，

q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(

) A．p∧﹁q

B．﹁p∧q

C．﹁p∧﹁q

D．p∧q

[解析] 由题意知

p为真命题，q为假命题，则﹁q为真命题，

所以p∧﹁q为真命题．

2.若命题“∃x0∈R，x20＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，

则实数m的取值范围是__________．

[解析] 由题意可知，命题“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，

故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.